Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

— общее решение этой однородной системы. Отсюда X(t)=
Y (t)+
n
i=1
C
i
X
i
(t) есть общее решение неоднородной системы.
Оно действительно общее, поскольку какое бы решение
˜
Y (t),
отвечающее произвольным начальным данным
˜
Y (t
0
)=
˜
Y
0
,
мы не взяли, найдутся такие постоянные
˜
C
1
,
˜
C
2
, ... ,
˜
C
n
, что
˜
Y (t)=Y (t)+
n
i=1
˜
C
i
X
i
(t), так как система алгебраических урав-
нений
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
˜
C
1
x
11
(t
0
)+
˜
C
2
x
12
(t
0
)+ ... +
˜
C
n
x
1n
(t
0
)=
0
˜y
1
− y
1
(t
0
),
˜
C
1
x
21
(t
0
)+
˜
C
2
x
22
(t
0
)+ ... +
˜
C
n
x
2n
(t
0
)=
0
˜y
2
− y
2
(t
0
),
......................................................................................
˜
C
1
x
n1
(t
0
)+
˜
C
2
x
n2
(t
0
)+ ... +
˜
C
n
x
nn
(t
0
)=
0
˜y
n
− y
n
(t
0
)
имеет единственное решение, которое может быть найдено, на-
пример, по формулам Крамера. Определитель этой системы сов-
падает с определителем Вронского для системы линейно неза-
висимых функций и поэтому отличен от нуля.
Теорема 4(о суперпозиции решений.)Решением системы
L (X(t)) = F
1
(t)+F
2
(t)+...+F
s
(t) является сумма всех решений
X
1
(t),X
2
(t), ... , X
s
(t) уравнений L (X(t)) = F
1
(t),L(X(t)) =
F
2
(t), ... , L (X(t)) = F
s
(t).
Доказательство. Дано:
L (X
1
(t)) ≡ F
1
(t),L(X
2
(t)) ≡ F
2
(t), ... , L (X
s
(t)) ≡ F
s
(t).
Тогда L (X
1
(t)+X
2
(t)+ ... + X
s
(t)) =
= L (X
1
(t))+L (X
2
(t))+...+L (X
s
(t)) ≡ F
1
(t)+F
2
(t)+ ... +F
s
(t),
то есть сумма решений X
1
(t)+X
2
(t)+ ... +X
s
(t) действительно
99
— общее решение этой однородной системы. Отсюда X(t) =
           n
           
Y (t) +         Ci Xi(t) есть общее решение неоднородной системы.
          i=1
Оно действительно общее, поскольку какое бы решение Ỹ (t),
отвечающее произвольным начальным данным Ỹ (t0) = Ỹ0,
мы не взяли, найдутся такие постоянные C̃1, C̃2, ... , C̃n, что
                      n
                      
Ỹ (t) = Y (t) +           C̃iXi(t), так как система алгебраических урав-
                     i=1
нений
   ⎧
   ⎪
   ⎪                                                                         0
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
       C̃1 x11(t0) + C̃2 x12(t0) + ... + C̃n x1n(t0) = ỹ1 − y1(t0),
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪                                                                         0
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎨   C̃1 x21(t0) + C̃2 x22(t0) + ... + C̃n x2n(t0) = ỹ2 − y2(t0),
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
       ......................................................................................
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪                                                                          0
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎪
   ⎩   C̃1 xn1(t0) + C̃2 xn2(t0) + ... + C̃n xnn (t0) = ỹn − yn(t0)

имеет единственное решение, которое может быть найдено, на-
пример, по формулам Крамера. Определитель этой системы сов-
падает с определителем Вронского для системы линейно неза-
висимых функций и поэтому отличен от нуля.
       Теорема 4(о суперпозиции решений.)Решением системы
L (X(t)) = F1(t)+F2(t)+...+Fs(t) является сумма всех решений
X1(t), X2(t), ... , Xs(t) уравнений L (X(t)) = F1(t), L (X(t)) =
F2(t), ... , L (X(t)) = Fs(t).
       Доказательство. Дано:
L (X1(t)) ≡ F1(t), L (X2(t)) ≡ F2(t), ... , L (Xs(t)) ≡ Fs(t).

Тогда        L (X1(t) + X2(t) + ... + Xs(t)) =
= L (X1(t))+L (X2(t))+...+L (Xs(t)) ≡ F1(t)+F2(t)+ ... +Fs(t),
то есть сумма решений X1(t)+X2(t)+ ... +Xs(t) действительно
                                                99

Страницы