Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Обозначая t = x
0
и переобозначая удобным образом пере-
менные, можно получить систему, записанную в симметричной
форме
dx
0
A
0
(x
0
,x
1
, ..., x
n
)
=
dx
1
A
1
(x
0
,x
1
, ..., x
n
)
= ... =
dx
n
A
n
(x
0
,x
1
, ..., x
n
)
.
Преимуществом такой формы записи системы является то, что
в эту систему все переменные x
0
,x
1
,x
2
, ..., x
n
входят равно-
правно, тогда как в нормальной системе (12.4) такого равнопра-
вия нет: x
1
,x
2
, ..., x
n
рассматриваются как функции, а t —
как независимая переменная.
Симметричная форма системы уравнений может оказаться очень по-
лезной для нахождения интегрируемых комбинаций. Для этого можно вос-
пользоваться свойством равных дробей: если
a
1
b
1
=
a
2
b
2
= ... =
a
n
b
n
= t,
то при любых k
1
,k
2
, ... , k
n
имеем
k
1
a
1
+ k
2
a
2
+ ... + k
n
a
n
k
1
b
1
+ k
2
b
2
+ ... + k
n
b
n
= t.
ЛЕКЦИЯ 13
13.1. Системы линейных однородных и неоднородных
дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравне-
ний
dx
i
dt
=
n
k=1
a
ik
(t)x
k
+ f
i
(t)(i =1, 2, ..., n). (13.1)
93
Обозначая t = x0           и переобозначая удобным образом пере-
менные, можно получить систему, записанную в симметричной
форме
       dx0                 dx1                         dxn
                    =                    = ... =                     .
 A0(x0, x1, ..., xn) A1(x0, x1, ..., xn)         An(x0, x1, ..., xn)
Преимуществом такой формы записи системы является то, что
в эту систему все переменные x0, x1, x2, ..., xn входят равно-
правно, тогда как в нормальной системе (12.4) такого равнопра-
вия нет: x1, x2, ..., xn рассматриваются как функции, а t —
как независимая переменная.
     Симметричная форма системы уравнений может оказаться очень по-
лезной для нахождения интегрируемых комбинаций. Для этого можно вос-
пользоваться свойством равных дробей: если
                           a1   a2         an
                              =    = ... =    = t,
                           b1   b2         bn
то при любых k1 , k2 , ... , kn имеем
                         k1 a1 + k2 a2 + ... + kn an
                                                     = t.
                         k1 b1 + k2 b2 + ... + kn bn



                              ЛЕКЦИЯ 13


 13.1. Системы линейных однородных и неоднородных
                 дифференциальных уравнений

      Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравне-
ний
               dxi    n
                      
                   =     aik (t)xk + fi(t) (i = 1, 2, ..., n).   (13.1)
               dt    k=1



                                        93

Страницы