Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В результате мы получили n − 1 тождество
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
1
dt
= f
1
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
),
d
2
x
1
dt
2
= F
2
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
),
d
3
x
1
dt
3
= F
3
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
) ,
....................................
d
n−1
x
1
dt
n−1
= F
n−1
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
).
(12.6)
Выражая из этих тождеств x
2
,x
3
, ... , x
n
через t, x
1
,
dx
1
dt
,
dx
2
dt
, ... ,
d
n−1
x
1
dt
n−1
, получим
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x
2
=Ψ
2
⎛
⎜
⎝
t, x
1
,
dx
1
dt
,
d
2
x
1
dt
2
, ...,
d
n−1
x
1
dt
n−1
⎞
⎟
⎠
,
x
3
=Ψ
3
⎛
⎜
⎝
t, x
1
,
dx
1
dt
,
d
2
x
1
dt
2
, ...,
d
n−1
x
1
dt
n−1
⎞
⎟
⎠
,
..........................................................
x
n
=Ψ
n
⎛
⎜
⎝
t, x
1
,
dx
1
dt
,
d
2
x
1
dt
2
, ...,
d
n−1
x
1
dt
n−1
⎞
⎟
⎠
.
(12.7)
(Это всегда можно сделать, если все якобианы
D (f,F)
D(t, x)
=0
для всех рассматриваемых значений (t, x
1
,x
2
, ..., x
n
).) Подстав-
ляя полученные x
2
,x
3
, ... , x
n
в последнее тождество (12.5),
имеем
d
n
x
1
dt
n
=Φ
⎛
⎜
⎝
t, x
1
,
dx
1
dt
, ...,
d
n−1
x
1
dt
n−1
⎞
⎟
⎠
. (12.8)
Этому соотношению удовлетворяет всякое решение x
1
(t) из
решений системы (12.4).
90
В результате мы получили n − 1 тождество
                 ⎧
                 ⎪
                 ⎪ dx1
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                          = f1(t, x1, x2, ..., xn),
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                    dt
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                   d2x1
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                           = F2(t, x1, x2, ..., xn),
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                    dt2
                 ⎨
                   d3x1                                                    (12.6)
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪     3
                           = F3(t, x1, x2, ..., xn) ,
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                    dt
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪ ....................................
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                 ⎪
                      dn−1x1
                 ⎪
                 ⎩           = Fn−1(t, x1, x2, ..., xn).
                       dtn−1
Выражая из этих тождеств x2, x3, ... , xn через t, x1,
dx1 , dx2 , ... , dn−1x1 , получим
 dt dt             dtn−1
            ⎧              ⎛                                        ⎞
            ⎪
            ⎪
            ⎪
            ⎪              ⎜         dx1 d2x1              dn−1x1 ⎟
            ⎪
            ⎪ x2 = Ψ2 ⎝t, x1,              , 2 , ..., n−1 ⎠ ,
            ⎪
            ⎪
            ⎪
            ⎪                         dt      dt            dt
            ⎪
            ⎪              ⎛                                        ⎞
            ⎪
            ⎪                                 2             n−1
            ⎪
            ⎪                        dx      d  x          d    x
            ⎪                            1        1               1
            ⎪
            ⎪
            ⎨ x3 = Ψ3 ⎜    ⎝t, x1 ,        , 2 , ..., n−1 ⎟         ⎠,
            ⎪
                                      dt      dt            dt             (12.7)
            ⎪
            ⎪
            ⎪
            ⎪
            ⎪
            ⎪
            ⎪
            ⎪
              ..........................................................
            ⎪
            ⎪              ⎛                                        ⎞
            ⎪
            ⎪                                  2             n−1
            ⎪
            ⎪
            ⎪ x = Ψ ⎜
            ⎪
                                     dx1 d x1              d x1 ⎟
            ⎪
            ⎪   n        n ⎝t, x1 ,        ,        , ...,          ⎠.
            ⎩
                                      dt dt2                dtn−1
                                                  D (f, F )
(Это всегда можно сделать, если все якобианы                = 0
                                                   D(t, x)
для всех рассматриваемых значений (t, x1, x2, ..., xn).) Подстав-
ляя полученные x2, x3, ... , xn в последнее тождество (12.5),
имеем                           ⎛                               ⎞
              dnx1     ⎜       dx1       dn−1x1 ⎟
                   = Φ ⎝t, x1,     , ..., n−1 ⎠ .  (12.8)
               dtn              dt        dt
Этому соотношению удовлетворяет всякое решение x1(t) из
решений системы (12.4).

                                         90

Страницы