Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 88 стр.

— что является интегральной кривой в евклидовом простран-
стве с координатами (t, x1, x2, ..., xn).
     В физике и механике системе            (12.4)    или, эквивалент-
но, (12.4∗) даётся более естественная интерпретация. Система
(12.4∗) называется динамической системой, переменная t при-
нимается за время, и тогда X = Φ(t) описывает траекторию
движения точки, dX dt — скорость точки в n-мерном евкли-
довом пространстве, которое в физике называют фазовым про-
странством, а траекторию — фазовой траекторией. Динами-
ческая система (12.4∗) в данный момент времени t определяет
в n-мерном фазовом пространстве поле скоростей. Если правая
часть F (t, X) зависит от времени, то поле скоростей меняет-
ся со временем и фазовые траектории могут пересекаться. Если
же F = F (X), то поле скоростей стационарно, и, следователь-
но, через каждую точку фазового пространства (x1, x2, ..., xn)
будет проходить лишь одна траектория.
     Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
                           dx      dy
                              = y,    = −x.
                           dt      dt

Представим ее в виде    dx = − dy = dt, получим dx + dy = 0. Это
                         y       x                   y     x
                                 2   2     2
уравнение легко интегрируется x + y = C1 или в параметрическом виде
x = C1 cos ϕ, y = C1 sin ϕ. Подставив x и y в исходную систему, получим
единственное уравнение для определения функции ϕ(t) : dϕdt = −1, откуда
ϕ(t) = −t + C2 . Таким образом, общее решение системы

                x = C1 cos(t − C2 ), y = −C1 sin(t − C2 ).

На фазовой плоскости это решение описывает семейство концентрических
окружностей, а начало координат является точкой покоя системы.

                                   88