Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11.3 Физическая интерпретация функции Грина
Во многих задачах решение y(t) уравнения
y

+ p
1
(t) y
+ p
2
(t) y = f(t)(11.6)
описывает смещение некоторой системы (например, струны), f(t)
— силу, действующую на эту систему, t — время. Предполо-
жим, что при t<s система находилась в состоянии покоя, а
ее смещение вызывается силой f
ε
(t), отличной от нуля лишь
в промежутке s<t≤ s + ε, причём импульс этой силы
равен единице:
s+ε
s
f
ε
(t)dt =1. Согласно формуле (11.2), ре-
шение уравнения (11.6) может быть записано в виде y
ε
(t)=
t
1
t
0
G(t, s)f
ε
(s)ds. Поскольку подынтегральная функция отлична
от нуля только в промежутке s<t≤ s + ε, то равенство мо-
жет быть продолжено:
t
1
t
0
G(t, s)f
ε
(s)ds =
s+ε
s
G(t, s)f
ε
(s)ds. Ес-
ли G(t, s) — непрерывная по s функция, то к последнему инте-
гралу можно применить теорему о среднем:
s+ε
s
G(t, s)f
ε
(t)dt =
= G(t, s
∗
)
s+ε
s
f
ε
(s)ds
$ %& '
=1
= G(t, s
∗
), где s
∗
∈ (s, s + ε). Переходя к
пределу при ε → 0, получим lim
ε→0
y
ε
(t)=y(t)=G(t, s).
Таким образом, функция Грина описывает мгновенное воздей-
ствие на систему силы единичного импульса.
85
        11.3 Физическая интерпретация функции Грина

        Во многих задачах решение y(t) уравнения

                              y  + p1(t) y  + p2(t) y = f (t)                         (11.6)

описывает смещение некоторой системы (например, струны), f (t)
— силу, действующую на эту систему, t — время. Предполо-
жим, что при t < s система находилась в состоянии покоя, а
ее смещение вызывается силой fε(t), отличной от нуля лишь
в промежутке                 s < t ≤ s + ε,               причём импульс этой силы
                             s+ε
                              
равен единице:                        fε(t)dt = 1. Согласно формуле (11.2), ре-
                              s
шение уравнения (11.6) может быть записано в виде yε(t) =
t1
      G(t, s)fε (s)ds. Поскольку подынтегральная функция отлична
t0
от нуля только в промежутке s < t ≤ s + ε, то равенство мо-
                                         t1                       s+ε
                                                                    
жет быть продолжено:                           G(t, s)fε (s)ds =         G(t, s)fε (s)ds. Ес-
                                         t0                        s
ли G(t, s) — непрерывная по s функция, то к последнему инте-
                                                                         s+ε
                                                                          
гралу можно применить теорему о среднем:                                       G(t, s)fε (t)dt =
                                                                          s
               s+ε
                
           ∗
= G(t, s )             fε(s)ds = G(t, s∗), где s∗ ∈ (s, s + ε). Переходя к
               $
                   s    %&        '
                       =1
пределу при ε → 0, получим lim yε(t) = y(t) = G(t, s).
                                                    ε→0

Таким образом, функция Грина описывает мгновенное воздей-
ствие на систему силы единичного импульса.




                                                    85

Страницы