Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 11
11.1. Функция Грина
Рассмотрим первую краевую задачу с нулевыми граничны-
ми условиями
d
dx
[ p(x) y
] − q(x)y = f (x),y(x
0
)=y(x
1
)=0 (11.1)
и укажем способ построения решения этой задачи. Для этого
нам понадобится функция Грина.
Определение. Функцией Грина G(x, s) краевой задачи
(11.1) называется функция, обладающая свойствами:
1) G(x, s) непрерывна по x при фиксированном s при
x
0
≤ x ≤ x
1
,x
0
≤ s ≤ x
1
,
2) G(x, s) является решением соответствующего одно-
родного уравнения
d
dx
[ p(x) y
] − q(x)y =0 на всем отрезке
[ x
0
,x
1
], за исключением точки x = s,
3) G(x, s) удовлетворяет граничным условиям G(x
0
,s)=
= G(x
1
,s)=0,
4) в точке x = s производная G
x
(x, s) должна иметь
разрыв первого рода со скачком
1
p(s)
.
Непосредственной подстановкой в уравнение
d
dx
[ p(x) y
]−
q(x)y = f (x) проверим, что
y(x)=
x
1
x
0
G(x, s) f (s) ds (11.2)
является решением задачи (11.1).
81
                            ЛЕКЦИЯ 11


                      11.1. Функция Грина

     Рассмотрим первую краевую задачу с нулевыми граничны-
ми условиями
      d
        [ p(x) y  ] − q(x)y = f (x),           y(x0) = y(x1) = 0   (11.1)
     dx
и укажем способ построения решения этой задачи. Для этого
нам понадобится функция Грина.
     Определение. Функцией Грина G(x, s) краевой задачи
(11.1) называется функция, обладающая свойствами:
     1) G(x, s) непрерывна по x при фиксированном s при
x0 ≤ x ≤ x 1 ,   x0 ≤ s ≤ x 1 ,
      2) G(x, s) является решением соответствующего одно-
                      d
родного уравнения       [ p(x) y  ] − q(x)y = 0 на всем отрезке
                     dx
[ x0, x1 ], за исключением точки x = s,
     3) G(x, s) удовлетворяет граничным условиям G(x0, s) =
= G(x1, s) = 0,
     4) в точке x = s производная Gx(x, s) должна иметь
                                1
разрыв первого рода со скачком      .
                               p(s)
                                                d
     Непосредственной подстановкой в уравнение    [ p(x) y  ]−
                                               dx
q(x)y = f (x) проверим, что
                                  x1
                       y(x) =           G(x, s) f (s) ds            (11.2)
                                  x0

является решением задачи (11.1).

                                          81

Страницы