Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Умножим первое из этих уравнений на y
m
(x), второе — на
y
n
(x), затем проинтегрируем каждое из полученных уравнений
по [x
0
,x
1
], и результат интегрирования вычтем почленно один
из другого:
x
1
x
0
(y
m
L[y
n
] − y
n
L[y
m
])dx +(λ
n
− λ
m
)
x
1
x
0
ρ(x)y
m
y
n
dx =0.
Преобразуя первый интеграл, получим
x
1
x
0
⎛
⎝
y
m
d
dx
(p(x)y
n
) − y
n
d
dx
(p(x)y
m
)
⎞
⎠
dx+
+(λ
n
− λ
m
)
x
1
x
0
ρ(x)y
m
y
n
dx =0.
Это выражение можно легко представить в виде
x
1
x
0
d
dx
[(y
m
y
n
− y
n
y
m
) p(x)]dx +(λ
n
− λ
m
)
x
1
x
0
ρ(x)y
m
y
n
dx =0,
откуда
[(y
m
y
n
− y
n
y
m
) p(x)]|
x
1
x
0
$
%& '
=0
+(λ
n
− λ
m
)
x
1
x
0
ρ(x)y
m
y
n
dx =0.
Здесь первое слагаемое равно нулю, вследствие граничных усло-
вий. Поскольку λ
n
= λ
m
, заключаем, что
x
1
x
0
y
n
(x) y
m
(x) ρ(x) dx =0,m= n.
Таким образом, собственные функции задачи Штурма — Лиу-
вилля (а их бесконечно много) образуют ортогональную с весом
ρ(x) систему.
Теорема разложимости В.А. Стеклова. Если функция
f(x) дважды непрерывно дифференцируема на [x
0
,x
1
] и удо-
влетворяет однородным граничным условиям
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
α
1
f
(x
0
)+β
1
f(x
0
)=0,
α
2
f
(x
1
)+β
2
f(x
1
)=0,
78
Умножим первое из этих уравнений на ym(x), второе — на
yn(x), затем проинтегрируем каждое из полученных уравнений
по [x0, x1], и результат интегрирования вычтем почленно один
из другого:
    x1                                                        x1
          (ymL[yn] − ynL[ym])dx + (λn − λm)                          ρ(x)ymyndx = 0.
    x0                                                     x0
Преобразуя первый интеграл, получим
               ⎛                             ⎞
           x1       d               d
                                          
               ⎝y
                  m    (p(x)yn) − yn (p(x)ym)⎠dx+
           x0       dx              dx
                                            x1
                          +(λn − λm)              ρ(x)ymyndx = 0.
                                            x0
Это выражение можно легко представить в виде
   x1 d                                   x1
                    
         [(ymyn − ynym) p(x)]dx + (λn − λm) ρ(x)ymyndx = 0,
  x0 dx                                    x0
откуда
                                                          x1
         [(ymyn                    x
                   −   yn ym ) p(x)]|x10    +(λn − λm)          ρ(x)ymyndx = 0.
     $                   %&             '                 x0
                         =0
Здесь первое слагаемое равно нулю, вследствие граничных усло-
вий. Поскольку λn = λm, заключаем, что
                   x1
                         yn(x) ym(x) ρ(x) dx = 0,                    m = n.
                   x0
Таким образом, собственные функции задачи Штурма — Лиу-
вилля (а их бесконечно много) образуют ортогональную с весом
ρ(x) систему.
    Теорема разложимости В.А. Стеклова. Если функция
f (x) дважды непрерывно дифференцируема на [x0, x1] и удо-
влетворяет однородным граничным условиям
                              ⎧
                              ⎪
                              ⎪
                              ⎨   α1f (x0) + β1f (x0) = 0,
                              ⎪
                              ⎪
                              ⎩   α2f (x1) + β2f (x1) = 0,
                                                  78

Страницы