Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Свойство 2. Каждому собственному значению соответ-
ствует с точностью до постоянного множителя только одна
собственная функция.
Доказательство. Предположим противное. Пусть одному
собственному значению λ
n
соответствуют две линейно неза-
висимые собственные функции y
1
(x) и y
2
(x). (Более двух
линейно независимых решений существовать не может, так как
порядок уравнения равен двум.)
Используя граничные условия задачи (10.7), можем запи-
сать
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
α
1
y
1
(x
0
)+β
1
y
1
(x
0
)=0,
α
1
y
2
(x
0
)+β
1
y
2
(x
0
)=0.
Рассмотрим эту систему как линейную однородную систему ал-
гебраических уравнений относительно α
1
и β
1
. Поскольку
заведомо известно, что α
2
1
+ β
2
1
=0, определитель этой
однородной системы, совпадающий с определителем Вронского,
должен равняться нулю: W [ y
1
(x),y
2
(x)]=0. Но это невоз-
можно, т.к. y
1
(x) и y
2
(x) — линейно независимые функции,
а определитель Вронского линейно независимых функций ни в
одной точке не может обратиться в нуль. Полученное противо-
речие доказывает свойство.
Свойство 3. В случае граничных условий y(x
0
)=y(x
1
)=
=0 и при выполнении условия q ≥ 0 все собственные значе-
ния краевой задачи (10.7) положительны: λ
n
> 0.
Доказательство. Умножим уравнение для собственной
76
       Свойство 2. Каждому собственному значению соответ-
ствует с точностью до постоянного множителя только одна
собственная функция.
       Доказательство. Предположим противное. Пусть одному
собственному значению λn соответствуют две линейно неза-
висимые собственные функции y1(x) и y2(x). (Более двух
линейно независимых решений существовать не может, так как
порядок уравнения равен двум.)
       Используя граничные условия задачи (10.7), можем запи-
сать               ⎧
                   ⎪
                   ⎪
                   ⎨   α1y1 (x0) + β1y1(x0) = 0,
                   ⎪
                   ⎪
                   ⎩   α1y2 (x0) + β1y2(x0) = 0.
Рассмотрим эту систему как линейную однородную систему ал-
гебраических уравнений относительно α1 и β1. Поскольку
заведомо известно, что α12 + β12 = 0, определитель этой
однородной системы, совпадающий с определителем Вронского,
должен равняться нулю: W [ y1(x), y2(x) ] = 0. Но это невоз-
можно, т.к. y1(x) и y2(x) — линейно независимые функции,
а определитель Вронского линейно независимых функций ни в
одной точке не может обратиться в нуль. Полученное противо-
речие доказывает свойство.
       Свойство 3. В случае граничных условий y(x0) = y(x1) =
= 0 и при выполнении условия q ≥ 0 все собственные значе-
ния краевой задачи (10.7) положительны: λn > 0.
       Доказательство.      Умножим уравнение для собственной



                                  76

Страницы