Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

после замены сохранит свой линейный вид
z

+ p
1
(x) z
+ˆp
2
(x) z =ˆϕ(x). (10.5)
Вернемся к исходному уравнению (10.1). Умножим его на
e
p
1
(x)dx
, получим
y

·e
p
1
(x)dx
+p
1
(x)·e
p
1
(x)dx
y
+p
2
(x)·e
p
1
(x)dx
y = ϕ(x)·e
p
1
(x)dx
.
Легко видеть, что
y

· e
p
1
(x)dx
+ p
1
(x) · e
p
1
(x)dx
y
=
d
dx
e
p
1
(x)dx
y
.
Обозначим e
p
1
(x)dx
def
=
p(x),p
2
(x) · e
p
1
(x)dx
def
=
−q(x),
и ϕ(x)e
p
1
(x)dx
def
=
f(x). (Заметим, что функция p(x) положи-
тельна: p(x) > 0.)
В результате получим дифференциальное уравнение вида
L[ y ]
def
=
d
dx
[ p(x) y
] − q(x)y = f(x). (10.6)
Очевидно, что однородная краевая задача
L[ y ]=0,
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
α
1
y
(x
0
)+β
1
y(x
0
)=0,
α
2
y
(x
0
)+β
2
y(x
0
)=0,
x
0
≤ x ≤ x
1
,
всегда имеет тождественно равное нулю (так называемое три-
виальное) решение y(x) ≡ 0.
10.2. Задача Штурма — Лиувилля
Важным случаем однородных краевых задач являются так
называемые задачи на собственные значения. Эти задачи состо-
ят в определении значений параметров, входящих в дифферен-
циальное уравнение, при которых существуют нетривиальные
решения однородной краевой задачи.
74
после замены сохранит свой линейный вид

                                     z  + p1(x) z  + p̂2(x) z = ϕ̂(x).                                     (10.5)

          Вернемся к исходному уравнению (10.1). Умножим его на
 
e    p1 (x)dx
                , получим
                                                                                                      
                                             p1 (x)dx 
y ·e          p1 (x)dx
                         + p1(x) · e                  y + p2(x) · e              p1 (x)dx
                                                                                            y = ϕ(x) · e     p1 (x)dx
                                                                                                                        .

Легко видеть, что
                    
                                                           
                                                                p1 (x)dx   d   p1(x)dx 
                y ·e          p1 (x)dx
                                          + p1(x) · e                  y =     e         y .
                                                                           dx
                                                                                    
                                     p1 (x)dx def                                        p1 (x)dx def
Обозначим                      e               =      p(x),          p2(x) · e                     =    −q(x),
                
                    p1 (x)dx def
и ϕ(x)e                       =        f (x). (Заметим, что функция p(x) положи-
тельна: p(x) > 0.)
          В результате получим дифференциальное уравнение вида
                        def d
                  L[ y ] =     [ p(x) y  ] − q(x)y = f (x). (10.6)
                            dx
          Очевидно, что однородная краевая задача
                                      ⎧
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎨   α1y (x0) + β1y(x0) = 0,
          L[ y ] = 0,                 ⎪
                                      ⎪         
                                                                                             x0 ≤ x ≤ x 1 ,
                                      ⎩   α2y (x0) + β2y(x0) = 0,
всегда имеет тождественно равное нулю (так называемое три-
виальное) решение y(x) ≡ 0.

                         10.2. Задача Штурма — Лиувилля

          Важным случаем однородных краевых задач являются так
называемые задачи на собственные значения. Эти задачи состо-
ят в определении значений параметров, входящих в дифферен-
циальное уравнение, при которых существуют нетривиальные
решения однородной краевой задачи.
                                                                74

Страницы