Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

материальной точки массы m под действием силы
F (t, r,
dr
dt
)
нужно найти закон движения, если в начальный момент време-
ни t
0
точка находилась в положении r
0
, а в момент t
1
—в
положении r
1
.
Задача сводится к интегрированию диф-
A
B
Рис. 9.
ференциального уравнения
m
d
2
r
dt
2
=
F (t, r,
dr
dt
)
с краевыми условиями r(t
0
)=r
0
,r(t
1
)=r
1
.
Заметим, что задача, вообще говоря, может совсем не иметь
никакого решения или иметь не единственное решение. Так, при
стрельбе из точки A в точку B (см. рис. 9) снаряд может лететь
как по настильной, так и по навесной траекториям.
Пример. Найти решение уравнения y

+ y =0, удовле-
творяющее граничным условиям y(0) = 0,y(x
1
)=y
1
. Общее
решение уравнения имеет вид y(x)=C
1
cos x +C
2
sin x. Исходя
из граничных условий, попробуем определить постоянные инте-
грирования C
1
и C
2
. Из первого граничного условия следует
C
1
=0, тогда y(x)=C
2
sin x.
Если x
1
= nπ, то из второго граничного условия следует
y
1
= C
2
sin x
1
,C
2
=
y
1
sin x
1
,y(x)=y
1
sin x
sin x
1
. В этом случае
решение поставленной задачи существует и единственно.
Если x
1
= nπ, и y
1
=0, то все кривые пучка y(x)=
C
2
sin x являются графиками решения этой задачи. Решение
существует, но оно не единственно.
Если x
1
= nπ, y
1
=0, решение задачи не существует.
72
                                                       dr
материальной точки массы m под действием силы F (t, r,    )
                                                       dt
нужно найти закон движения, если в начальный момент време-
ни t0 точка находилась в положении r0, а в момент t1 — в
положении r1.
    Задача сводится к интегрированию диф-
ференциального уравнения
             d2r          dr                   A
            m 2 = F (t, r, )                                 B
             dt           dt
                                                   Рис. 9.
с краевыми условиями r(t0) = r0, r(t1) = r1.
    Заметим, что задача, вообще говоря, может совсем не иметь
никакого решения или иметь не единственное решение. Так, при
стрельбе из точки A в точку B (см. рис. 9) снаряд может лететь
как по настильной, так и по навесной траекториям.
    Пример. Найти решение уравнения y  + y = 0, удовле-
творяющее граничным условиям y(0) = 0,      y(x1) = y1. Общее
решение уравнения имеет вид y(x) = C1 cos x + C2 sin x. Исходя
из граничных условий, попробуем определить постоянные инте-
грирования C1 и C2. Из первого граничного условия следует
C1 = 0, тогда y(x) = C2 sin x.
    Если x1 = nπ, то из второго граничного условия следует
                       y1                sin x
y1 = C2 sin x1, C2 =        , y(x) = y1        . В этом случае
                     sin x1             sin x1
решение поставленной задачи существует и единственно.
    Если x1 = nπ, и y1 = 0, то все кривые пучка y(x) =
C2 sin x являются графиками решения этой задачи. Решение
существует, но оно не единственно.
    Если x1 = nπ, y1 = 0, решение задачи не существует.

                                 72

Страницы