Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

не обращается. Следовательно, L
x
m
1
e
k
1
x
=0, и функция
y = x
m
1
e
k
1
x
решением уравнения (9.2) не является.
Таким образом, мы показали, что функции y
1
= e
k
1
x
,y
2
=
xe
k
1
x
, ... , y
m
1
= x
m
1
−1
e
k
1
x
, или, кратко,
y
s
(x)=x
s
e
k
1
x
, (0 ≤ s ≤ m
1
− 1) (9.6)
являются решениями уравнения (9.2) в случае, когда k
1
—ко-
рень характеристического уравнения кратности m
1
. Поскольку
эти функции линейно независимы (в этом можно убедиться, вы-
числив определитель Вронского), они могут быть включены в
фундаментальную систему решений уравнения (9.2).
4. Имеются кратные комплексные корни. Пусть
α + iβ – комплексный корень кратности m. Повторяя до-
словно все рассуждения, проведённые нами в пунктах 3 и 2,
покажем, что этому корню отвечают следующие линейно неза-
висимые частные решения:
e
αx
cos βx, x e
αx
cos βx, x
2
e
αx
cos βx, ... , x
m−1
e
αx
cos βx,
e
αx
sin βx, x e
αx
sin βx, x
2
e
αx
sin βx, ... , x
m−1
e
αx
sin βx.
9.2. Уравнения Эйлера
Уравнениями Эйлера называются уравнения вида
a
0
x
n
y
(n)
+ a
1
x
n−1
y
(n−1)
+ ... + a
n−1
xy
+ a
n
y = f(x). (9.18)
Решение этого уравнения заменой x = e
t
, если x>0, или
x = − e
t
, если x<0, сводится к решению линейного уравнения
с постоянными коэффициентами.
70
                                                      
не обращается. Следовательно, L x          m1   k1 x
                                                e          = 0, и функция
y = xm1 ek1x решением уравнения (9.2) не является.
     Таким образом, мы показали, что функции y1 = ek1x, y2 =
x ek1x, ... , ym1 = xm1−1ek1x, или, кратко,

                ys(x) = xs ek1x, (0 ≤ s ≤ m1 − 1)                       (9.6)

являются решениями уравнения (9.2) в случае, когда k1 — ко-
рень характеристического уравнения кратности m1. Поскольку
эти функции линейно независимы (в этом можно убедиться, вы-
числив определитель Вронского), они могут быть включены в
фундаментальную систему решений уравнения (9.2).
     4.    Имеются кратные комплексные корни. Пусть
α + iβ – комплексный корень кратности                      m.   Повторяя до-
словно все рассуждения, проведённые нами в пунктах 3 и 2,
покажем, что этому корню отвечают следующие линейно неза-
висимые частные решения:

  eαx cos βx, x eαx cos βx, x2 eαx cos βx, ... , xm−1 eαx cos βx,

  eαx sin βx, x eαx sin βx, x2 eαx sin βx, ... , xm−1 eαx sin βx.

                    9.2. Уравнения Эйлера

     Уравнениями Эйлера называются уравнения вида

 a0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + ... + an−1 x y  + an y = f (x). (9.18)

Решение этого уравнения заменой x = et, если x > 0, или
x = − et, если x < 0, сводится к решению линейного уравнения
с постоянными коэффициентами.
                                  70

Страницы