Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
d
dk
e
kx
(k − k
1
)
m
1
ϕ(k)
def
=
d
dk
[(k − k
1
)
m
1
A(k)] =
= m
1
(k − k
1
)
m
1
−1
A(k)+(k − k
1
)
m
1
A
k
(k),
где e
kx
ϕ(k)
def
=
A(k). Совершенно очевидно, что полученное
выражение при k = k
1
обращается в нуль: L
xe
k
1
x
=0, то есть
функция y
2
= xe
k
1
x
является решением уравнения (9.2).
Покажем, что L
x
2
e
k
1
x
=0. Как и в предыдущем случае,
отметим, что x
2
e
kx
=
d
2
dk
2
e
kx
. Поэтому
L
x
2
e
kx
= L
⎡
⎢
⎣
d
2
dk
2
e
kx
⎤
⎥
⎦
=
d
2
dk
2
L
e
kx
=
d
2
dk
2
e
kx
F (k)
=
=
d
2
dk
2
e
kx
(k − k
1
)
m
1
ϕ(k)
def
=
d
2
dk
2
[(k − k
1
)
m
1
A(k)]=
= m
1
(m
1
− 1)(k − k
1
)
m
1
−2
A(k)+2m
1
(k − k
1
)
m
1
−1
A
k
(k)+
+(k − k
1
)
m
1
A

kk
(k).
Очевидно, что полученное выражение при k = k
1
обращается
внуль:L
x
2
e
k
1
x
=0, т. е. y
3
= x
2
e
k
1
x
является решением
уравнения (9.2).
Аналогично имеем
L
x
m
1
−1
e
kx
= L
⎡
⎢
⎣
d
m
1
−1
dk
m
1
−1
e
kx
⎤
⎥
⎦
=
=
d
m
1
−1
dk
m
1
−1
L
e
kx
=
d
m
1
−1
dk
m
1
−1
e
kx
F (k)
=
=
d
m
1
−1
dk
m
1
−1
e
kx
(k − k
1
)
m
1
ϕ(k)
def
=
d
m
1
−1
dk
m
1
−1
[(k − k
1
)
m
1
A(k)].
Для того чтобы подсчитать эту производную, воспользуем-
ся формулой Лейбница
68
             d                           d                     
                                                                     def
        =                ekx(k − k1)m1 ϕ(k) [(k − k1)m1 A(k)] =      =
            dk                           dk
                 = m1(k − k1)m1−1A(k) + (k − k1)m1 Ak (k),
                         def
где ekxϕ(k) = A(k). Совершенно очевидно, что полученное
                                                                                               
выражение при k = k1 обращается в нуль: L xe                                            k1 x
                                                                                                    = 0, то есть
функция y2 = xek1x является решением уравнения (9.2).
                                                           
    Покажем, что L x e    = 0. Как и в предыдущем случае,
                                                2    k1 x

                    d2 kx
отметим, что x e = 2 e . Поэтому
              2 kx
                   dk
                               ⎡                 ⎤
                                       2
    
        2 kx
                        d kx⎥ ⎢  d2  kx    d2                                        
                                                                                            kx
                                                                                                         
  L xe               =L    2
                             e ⎦= 2 L e
                               ⎣            = 2                                             e       F (k) =
                        dk       dk          dk
      d2  kx               
                              def d
                                    2
   = 2 e (k − k1) ϕ(k) = 2 [ (k − k1)m1 A(k) ] =
                     m1
     dk                           dk
   = m1(m1 − 1)(k − k1)m1−2A(k) + 2m1(k − k1)m1−1Ak (k)+
                                               +(k − k1)m1 Akk (k).
Очевидно, что полученное выражение при k = k1 обращается
                                  
в нуль: L x e        2    k1 x
                                       = 0, т. е. y3 = x2 ek1x является решением
уравнения (9.2).
    Аналогично имеем
                                                                     ⎡             ⎤
                                                                         m1 −1
                                                                          d
                           L xm1−1ekx = L ⎢⎣                                m −1
                                                                                 ekx⎥⎦ =
                                                                         dk 1
               dm1−1  kx       dm1−1  kx      
           =          L e    =           e F (k) =
              dk m1−1           dk m1−1
   dm1−1  kx                     m −1
                             def d 1
=   m  −1
          e (k − k1) ϕ(k) =
                     m1
                                    m −1
                                         [ (k − k1)m1 A(k) ] .
  dk 1                           dk 1
    Для того чтобы подсчитать эту производную, воспользуем-
ся формулой Лейбница

                                                                68

Страницы