Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Решение K(x, s) всегда может быть выделено из общего
решения y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x) линейного однородного уравнения,
если выбрать произвольные постоянные так, чтобы выполня-
лись условия (8.2). Действительно, предположим, что K(x, s)=
C
1
(s)y
1
(x)+C
2
(s)y
2
(x)+... + C
n
(s)y
n
(x), где y
i
(i =1, 2, ..., n) -
фундаментальная система решений соответствующего линейно-
го однородного уравнения. Учитывая, что K
(s, s)=K
x
(x, s)|
x=s
,
и т. д., условия (8.2) запишем в виде
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
C
1
(s) y
1
(s)+C
2
(s) y
2
(s)+... + C
n
(s) y
n
(s)=0,
C
1
(s) y
1
(s)+C
2
(s) y
2
(s)+... + C
n
(s) y
n
(s)=0,
..................................................................................
C
1
(s) y
(n−2)
1
(s)+C
2
(s) y
(n−2)
2
(s)+... + C
n
(s) y
(n−2)
n
(s)=0,
C
1
(s) y
(n−1)
1
(s)+C
2
(s) y
(n−1)
2
(s)+... + C
n
(s) y
(n−1)
n
(s)=1.
Рассмотрим эту систему как линейную алгебраическую систему
относительно C
i
(s)(i =1, 2, ..., n). Эта система всегда имеет
решение, поскольку ее определитель совпадает с определителем
Вронского W [ y
1
,y
2
, ... , y
n
], который, в силу линейной неза-
висимости y
i
, отличен от нуля. Решая систему (например, по
формулам Крамера), найдем все C
i
(s)(i =1, 2, ..., n), а значит,
и искомое решение K(x, s).
Пример. Для уравнения y

+ a
2
y = f(x) общим решением соответ-
ствующего однородного уравнения является функция y(x)=C
1
cos ax +
C
2
sin ax. Условия (2) приводят к следующим уравнениям:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
C
1
cos as + C
2
sin as =0,
−C
1
a sin as + C
2
a cos as =1.
Следовательно, C
1
= −
sin as
a
; C
2
=
cos as
a
. Искомое решение имеет
вид
64
       Решение K(x, s) всегда может быть выделено из общего
                           n
                           
решения y(x) =                  Ci yi(x) линейного однородного уравнения,
                          i=1
если выбрать произвольные постоянные так, чтобы выполня-
лись условия (8.2). Действительно, предположим, что K(x, s) =
C1(s)y1(x) + C2(s)y2(x) + ... + Cn (s)yn(x), где yi (i = 1, 2, ..., n) -
фундаментальная система решений соответствующего линейно-
го однородного уравнения. Учитывая, что K (s, s) = Kx (x, s)|x=s ,
и т. д., условия (8.2) запишем в виде
  ⎧
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪   C1(s) y1(s) + C2(s) y2(s) + ... + Cn(s) yn(s) = 0,
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
      C1(s) y1 (s) + C2(s) y2 (s) + ... + Cn(s) yn (s) = 0,
  ⎪
  ⎨
  ⎪
  ⎪
      ..................................................................................
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪              (n−2)                     (n−2)
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
      C1(s) y1           (s) + C2(s) y2            (s) + ... + Cn(s) yn(n−2)(s) = 0,
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪              (n−1)                     (n−1)
  ⎪
  ⎩   C1(s) y1           (s) + C2(s) y2            (s) + ... + Cn(s) yn(n−1)(s) = 1.
Рассмотрим эту систему как линейную алгебраическую систему
относительно Ci(s) (i = 1, 2, ..., n). Эта система всегда имеет
решение, поскольку ее определитель совпадает с определителем
Вронского W [ y1, y2, ... , yn ], который, в силу линейной неза-
висимости yi, отличен от нуля. Решая систему (например, по
формулам Крамера), найдем все Ci(s)(i = 1, 2, ..., n), а значит,
и искомое решение K(x, s).
      Пример. Для уравнения y  + a2 y = f (x) общим решением соответ-
ствующего однородного уравнения является функция y(x) = C1 cos ax +
C2 sin ax. Условия (2) приводят к следующим уравнениям:
                           ⎧
                           ⎪
                           ⎨     C1 cos as + C2 sin as = 0,
                           ⎪
                           ⎩    −C1 a sin as + C2 a cos as = 1.
                                        sin as        cos as
       Следовательно, C1 = −                   ; C2 =        . Искомое решение имеет
                                          a             a
вид

                                                 64

Страницы