Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L[ y ]=0. Из полученной системы найдём все C
i
= ϕ
i
(x),
затем, проинтегрировав, получим C
i
(x)=
ϕ
i
(x)dx +
ˆ
C
i
, где
все
ˆ
C
i
— const. Таким образом, общее решение линейного
неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
y(x)=
n
i=1
ˆ
C
i
y
i
(x)
+
n
i=1

ϕ
i
(x)dx
· y
i
(x)
.
Легко видеть, что первое слагаемое в этом решении — общее
решение соответствующего однородного уравнения, второе сла-
гаемое – частное решение исходного неоднородного дифферен-
циального уравнения.
8.3. Метод Коши нахождения частного решения
линейного неоднородного дифференциального
уравнения L[ y ]=f(x)
В этом методе предполагается известным зависящее от од-
ного параметра решение K(x, s) соответствующего линейного
однородного уравнения L[y]=0, удовлетворяющее условиям
K(s, s)=K
(s, s)=... = K
(n−2)
(s, s)=0,K
(n−1)
(s, s)=1.
(8.2)
Покажем, что в этом случае функция
y(x)=
x
x
0
K(x, s)f(s)ds (8.3)
будет частным решением линейного неоднородного уравнения
L[ y ]=f(x), удовлетворяющим нулевым начальным условиям
y(x
0
)= y
(x
0
)=y

(x
0
)=... = y
(n−1)
(x
0
)=0.
В курсе математического анализа доказывается формула
дифференцирования по параметру интеграла, зависящего от это-
62
L[ y ] = 0. Из полученной системы найдём все                      Ci = ϕi(x),
                                                        
затем, проинтегрировав, получим Ci(x) =                     ϕi(x)dx + Ĉi, где
все Ĉi — const. Таким образом, общее решение линейного
неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
                   n 
                                       n 
                                                                 
          y(x) =         Ĉi yi(x) +             ϕi(x)dx · yi(x) .
                   i=1                  i=1
Легко видеть, что первое слагаемое в этом решении — общее
решение соответствующего однородного уравнения, второе сла-
гаемое – частное решение исходного неоднородного дифферен-
циального уравнения.

    8.3. Метод Коши нахождения частного решения
     линейного неоднородного дифференциального
                     уравнения L[ y ] = f (x)

    В этом методе предполагается известным зависящее от од-
ного параметра решение K(x, s) соответствующего линейного
однородного уравнения L[y] = 0, удовлетворяющее условиям

  K(s, s) = K (s, s) = ... = K (n−2)(s, s) = 0,            K (n−1)(s, s) = 1.
                                                                           (8.2)
Покажем, что в этом случае функция
                                  x
                         y(x) =        K(x, s)f (s)ds                      (8.3)
                                  x0

будет частным решением линейного неоднородного уравнения
L[ y ] = f (x), удовлетворяющим нулевым начальным условиям
y(x0) = y (x0) = y (x0) = ... = y (n−1)(x0) = 0.
    В курсе математического анализа доказывается формула
дифференцирования по параметру интеграла, зависящего от это-
                                        62

Страницы