Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Y
0
= z(x
0
)+
n
i=1
C
i
y
i
(x
0
),
Y
0
= z
(x
0
)+
n
i=1
C
i
y
i
(x
0
),
Y

0
= z

(x
0
)+
n
i=1
C
i
y

i
(x
0
),
......................................
Y
(n−1)
0
= z
(n−1)
(x
0
)+
n
i=1
C
i
y
(n−1)
i
(x
0
).
Получили линейную по отношению к постоянным C
i
систе-
му n алгебраических уравнений с n неизвестными. При
произвольных левых частях Y
0
,Y
0
,Y

0
, ... , Y
(n−1)
0
и любых
z(x
0
),z
(x
0
),z

(x
0
), ... , z
(n−1)
(x
0
) она допускает единственное
решение, поскольку определитель Вронского W [ y
1
,y
2
, ... , y
n
]
для линейно независимой системы функций y
1
(x),y
2
(x), ..., y
n
(x)
отличен от нуля.
Таким образом, задача нахождения общего решения линей-
ного неоднородного уравнения включает в себя задачу нахож-
дения частного решения этого уравнения.
8.2. Нахождение общего решения методом вариации
произвольных постоянных
Пусть общее решение линейного однородного уравнения есть
y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x). Будем считать, что C
i
= C
i
(x)(i =1, 2, ..., n)
с тем, чтобы подобрать произвольные n функций C
i
(x) такие,
которые бы удовлетворяли неоднородному уравнению L[y]=
f(x). Осуществим это следующим образом. Продифференциро-
вав y(x)=
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x), получим
y
(x)=
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x)+
n
i=1
C
i
(x) y
i
(x), положим (это — первое
60
                  ⎧                           n
                  ⎪
                  ⎪                           
                  ⎪
                  ⎪   Y0 = z(x0)         +          Ci yi(x0),
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪                           i=1
                  ⎪
                  ⎪                            n
                                               
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                      Y0 = z (x0) +               Ci yi (x0),
                  ⎪
                  ⎪                           i=1
                  ⎪
                  ⎨                            n
                                               
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                    Y 0
                              
                            = z (x0) +              Ci yi(x0),
                  ⎪
                  ⎪                           i=1
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪   ......................................
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎪                                     n
                                                        
                  ⎪
                  ⎪     (n−1)                                        (n−1)
                  ⎪
                  ⎪
                  ⎩   Y0        = z (n−1)(x0) +                Ci yi         (x0).
                                                        i=1
Получили линейную по отношению к постоянным Ci систе-
му    n    алгебраических уравнений с                            n     неизвестными. При
произвольных левых частях Y0, Y0, Y0, ... , Y0
                                                                               (n−1)
                                                                                       и любых
z(x0), z (x0), z (x0), ... , z (n−1)(x0) она допускает единственное
решение, поскольку определитель Вронского W [ y1, y2, ... , yn ]
для линейно независимой системы функций y1(x), y2(x), ..., yn (x)
отличен от нуля.
      Таким образом, задача нахождения общего решения линей-
ного неоднородного уравнения включает в себя задачу нахож-
дения частного решения этого уравнения.

 8.2. Нахождение общего решения методом вариации
                            произвольных постоянных

      Пусть общее решение линейного однородного уравнения есть
          n
          
y(x) =          Ci yi(x). Будем считать, что Ci = Ci(x) (i = 1, 2, ..., n)
          i=1
с тем, чтобы подобрать произвольные n функций Ci(x) такие,
которые бы удовлетворяли неоднородному уравнению L[y] =
f (x). Осуществим это следующим образом. Продифференциро-
                   n
                   
вав y(x) =              Ci(x) yi(x), получим
                  i=1
           n
                                   n
                                    
  
y (x) =          Ci(x)      yi(x) + Ci(x)
                             
                                                      yi(x), положим (это — первое
           i=1                     i=1

                                                 60

Страницы