Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

На языке фундаментальной системы решений основную тео-
рему этой лекции можно сформулировать следующим образом.
Теорема 3
∗
. Если y
i
(x)(i =1, 2, ..., n) — фундаменталь-
ная система решений, то общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения n-го порядка представимо в ви-
де y(x)=
n
i=1
C
i
y
i
(x), где C
1
,C
2
, ... , C
n
— произвольные
постоянные.
7.2. Формула Остроградского — Лиувилля
Совершенно очевидно, что вся информация о решениях ли-
нейного однородного уравнения ( 7.1 ) каким-то образом "спря-
тана"в коэффициентах p
i
(x), (i =1, 2, ..., n) этого уравнения.
Попытаемся эту информацию представить в явном виде.
Пусть задана фундаментальная система решений Y
1
(x),
Y
2
(x), ..., Y
n
(x). Выпишем соответствующее им дифференциаль-
ное уравнение. Пусть y(x)=
n
i=1
C
i
Y
i
(x). Определитель Вронско-
го системы функций y(x),Y
1
(x),Y
2
(x), ... , Y
n
(x) имеет вид
W [ Y
1
,Y
2
, ..., Y
n
,y]=
Y
1
Y
2
............. Y
n
y
Y
1
Y
2
............. Y
n
y
Y

1
Y

2
............ Y

n
y

.................................................
Y
(n−2)
1
Y
(n−2)
2
.......... Y
(n−2)
n
y
(n−2)
Y
(n−1)
1
Y
(n−1)
2
.......... Y
(n−1)
n
y
(n−1)
Y
(n)
1
Y
(n)
2
........... Y
(n)
n
y
(n)
=0.
Этот определитель равен нулю, поскольку система функ-
ций y(x),Y
1
(x),Y
2
(x), ... , Y
n
(x) линейно зависима. Разложим
56
      На языке фундаментальной системы решений основную тео-
рему этой лекции можно сформулировать следующим образом.
      Теорема 3∗. Если yi(x) (i = 1, 2, ..., n) — фундаменталь-
ная система решений, то общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения n-го порядка представимо в ви-
                n
                
де y(x) =             Ci yi(x), где C1, C2, ... , Cn — произвольные
                i=1
постоянные.

         7.2. Формула Остроградского — Лиувилля

      Совершенно очевидно, что вся информация о решениях ли-
нейного однородного уравнения ( 7.1 ) каким-то образом "спря-
тана"в коэффициентах pi(x), (i = 1, 2, ..., n) этого уравнения.
Попытаемся эту информацию представить в явном виде.
      Пусть задана фундаментальная система решений Y1(x),
Y2(x), ..., Yn (x). Выпишем соответствующее им дифференциаль-
                                           n
                                           
ное уравнение. Пусть y(x) =                    Ci Yi(x). Определитель Вронско-
                                           i=1
го системы функций y(x),                  Y1(x),     Y2(x), ... , Yn(x) имеет вид
                                                                                         
                                                                                         
                                  Y1       Y2            .............   Yn     y        
                                                                                         
                                                                                         
                                                                                         
                               
                               
                               
                                   Y1      Y2           .............   Yn    y       
                                                                                          
                                                                                          
                                                                                         
                                                                                         
                               
                                  Y1      Y2         ............    Yn   y      
                                                                                          
                                                                                         
                                                                                         
                               
 W [ Y1, Y2, ..., Yn, y] = .................................................                 = 0.
                                                                                         
                                                                                         
                                    (n−2)        (n−2)                                   
                                                                                  (n−2) 
                               
                                  Y1        Y2             .......... Yn(n−2) y          
                                                                                         
                                    (n−1)        (n−1)                            (n−1) 
                               
                               
                               
                                   Y1        Y2             .......... Yn(n−1) y          
                                                                                          
                                    (n)            (n)                                   
                                                                                         
                                  Y1          Y2          ........... Yn(n)     y (n)    


      Этот определитель равен нулю, поскольку система функ-
ций y(x), Y1(x), Y2(x), ... , Yn(x) линейно зависима. Разложим

                                               56

Страницы