Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

условию y
0
= f(x
0
,y
0
). Остается проверить, будет ли функ-
ция f(x, y) в окрестности точки (x
0
,y
0
) удовлетворять усло-
вию Липшица, или более жесткому условию
∂f
∂y
≤
ˆ
N, где
ˆ
N = const. В этом случае можно будет утверждать, что урав-
нение y
= f (x, y) удовлетворяет условиям теоремы Коши су-
ществования и единственности решения. Следовательно, можно
будет утверждать, что существует единственное решение урав-
нения y
= f(x, y), удовлетворяющее условию y(x
0
)=y
0
, а
вместе с тем существует и единственная интегральная кривая
уравнения F (x, y, y
)=0, проходящая через точку (x
0
,y
0
) и
имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный y
0
.
Согласно известной теореме о неявных функциях, можно
утверждать, что при выполнении условий 1), 2) и 3) производ-
ная
∂f
∂y
существует и может быть найдена по правилу диффе-
ренцирования неявных функций.
Разрешим уравнение F (x, y, y
)=0 относительно y
, и
это решение подставим обратно в это же уравнение. Очевидно,
результате получим тождество F (x, y, y
(x, y)) ≡ 0. Диффе-
ренцируя его по y и принимая во внимание y
= f(x, y),
получим
∂F
∂y
+
∂F
∂y
·
∂f
∂y
=0 или
∂f
∂y
= −
∂F
∂y
∂F
∂y
. Отсюда, в
силу условий 2) и 3) теоремы (производная
∂F
∂y
существует и
отлична от нуля, и существует ограниченная по модулю произ-
водная
∂F
∂y
≤ N) следует, что в замкнутой окрестности точки
(x
0
,y
0
) выполнено
∂f
∂y
≤
ˆ
N, где
ˆ
N = const.
46
условию y0 = f (x0, y0). Остается проверить, будет ли функ-
ция f (x, y) в окрестности точки (x0, y0) удовлетворять
                                                  
                                                        усло-
                                               ∂f 
                                                  
вию Липшица, или более жесткому условию   ≤ N̂ , где
                                                ∂y
N̂ = const. В этом случае можно будет утверждать, что урав-
нение y  = f (x, y) удовлетворяет условиям теоремы Коши су-
ществования и единственности решения. Следовательно, можно
будет утверждать, что существует единственное решение урав-
нения y  = f (x, y), удовлетворяющее условию y(x0) = y0, а
вместе с тем существует и единственная интегральная кривая
уравнения F (x, y, y ) = 0, проходящая через точку (x0, y0) и
имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный y0 .
    Согласно известной теореме о неявных функциях, можно
утверждать, что при выполнении условий 1), 2) и 3) производ-
     ∂f
ная     существует и может быть найдена по правилу диффе-
     ∂y
ренцирования неявных функций.
    Разрешим уравнение F (x, y, y ) = 0 относительно y , и
это решение подставим обратно в это же уравнение. Очевидно,
результате получим тождество F (x, y, y (x, y)) ≡ 0. Диффе-
ренцируя его по y и принимая во внимание y  = f (x, y),
            ∂F ∂F ∂f                  ∂f      ∂F 
получим         + ·         = 0 или      = − ∂y ∂F . Отсюда, в
            ∂y   ∂y ∂y                ∂y          ∂y 
                                                ∂F
силу условий 2) и 3) теоремы (производная            существует и
                                                ∂y 
отлична  от нуля,
              
                   и существует ограниченная по модулю произ-
          ∂F 
             
водная   ≤ N ) следует, что в замкнутой окрестности точки
           ∂y             
                       ∂f 
                          
(x0, y0) выполнено   ≤ N̂ , где N̂ = const.
                        ∂y

                               46

Страницы