Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

то является ли она особой интегральной кривой.
Рассмотрим следующий пример. Исследуем, имеет ли урав-
нение
dy
dx
=(y − x)
2
3
+a, где a =5 или a =1, особое решение.
Правая часть уравнения непрерывна, но частная производная
∂y
∂x
=
2
3
(y − x)
−
1
3
неограниченно возрастает при приближении
к прямой y = x. Если a =5, то функция y = x не удовле-
творяет уравнению, и, следовательно, она не является особым
решением этого уравнения. Если же a =1, функция y = x
удовлетворяет уравнению и, следовательно, является решением.
Осталось выяснить, нарушена ли единственность в точках этой
прямой. Заменой переменных z = y − x имеем
dz
dx
= z
2
3
, откуда
y − x =
(x − c)
3
27
.
Получили однопараметрическое семей-
x
y
Рис. 8.
ство кубических парабол. Кривые этого се-
мейства проходят через каждую точку гра-
фика решения y = x (см. рис. 8) и, сле-
довательно, в каждой точке этой прямой
единственность решения нарушена. Поэто-
му функция y = x является особым ре-
шением, а соответствующая ей прямая —
особой интегральной прямой.
40
то является ли она особой интегральной кривой.
     Рассмотрим следующий пример. Исследуем, имеет ли урав-
       dy           2
нение     = (y − x) 3 +a, где a = 5 или a = 1, особое решение.
       dx
Правая часть уравнения непрерывна, но частная производная
∂y    2         1
    = (y − x)− 3 неограниченно возрастает при приближении
∂x    3
к прямой y = x. Если a = 5, то функция y = x не удовле-
творяет уравнению, и, следовательно, она не является особым
решением этого уравнения. Если же a = 1, функция y = x
удовлетворяет уравнению и, следовательно, является решением.
Осталось выяснить, нарушена ли единственность в точках этой
                                           dz      2
прямой. Заменой переменных z = y − x имеем     = z 3 , откуда
                                           dx
        (x − c)3
y−x=             .
           27
    Получили однопараметрическое семей-
                                                    y
ство кубических парабол. Кривые этого се-
мейства проходят через каждую точку гра-
фика решения y = x (см. рис. 8) и, сле-
                                                             x
довательно, в каждой точке этой прямой
единственность решения нарушена. Поэто-
му функция y = x является особым ре-
шением, а соответствующая ей прямая —             Рис. 8.

особой интегральной прямой.




                              40

Страницы