Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 38 стр.

ки изображено на рисунке 4.
                 dy       y         dx       x
    Пример 2.        = −     или       = − .
                 dx       x         dy       y
    Правая часть этого уравнения терпит раз-
                                                                y
рыв в точке (0, 0). Интегрируя его, получим
y = C/x — семейство гипербол. Начало коор-
динат x = 0, y = 0 является особой точкой                                   x


уравнения, в ней также нарушено первое усло-
вие теоремы Коши — условие непрерывности
                                                    Рис. 5. Седло
правой части. Через эту точку не проходит ни
одно решение нашего уравнения. Особая точка такого рода на-
зывается седлом. Поведение интегральных кривых в окрестно-
сти этой особой точки изображено на рисунке 5.
               dy    x+y          dx      x−y
Пример 3.         =         или       = −      .
               dx    x−y          dy       x+y

     Правая часть этого уравнения терпит
                                                            y
разрыв в точке (0, 0). Интегрируя это од-
                                 
нородное уравнение, получим          x2 + y 2 =
C · earctg y/x,   или, в полярных координа-                             x
тах, ρ = C · eϕ — однопараметрическое
семейство логарифмических спиралей. Осо-
бая точка такого типа называется фокусом.         Рис. 6.       Фокус

Интегральные кривые в окрестности этой особой точки изобра-
жены на рисунке 6.
                  dy     x       dx      y
    Пример 4.        = −    или     = − .
                  dx     y       dy      x
Как и выше, правая часть этого уравнения терпит разрыв в
точке (0, 0). Интегрируя уравнение, получим x2 + y 2 = C 2 —

                                38