Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где ¯y
i
(i =1, 2, ..., n) — координаты вектор-функции
¯
Y, то
есть
¯
Y является единственным решением системы (4.2). Тем
самым мы доказали теорему существования и единственности
решения для системы дифференциальных уравнений (4.1).
Теорема. Если в системе дифференциальных уравнений
dy
i
dx
= f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
),y
i
(x
0
)=y
i0
, (i =1, 2, ..., n))
1) все функции f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
)(i =1, 2, ..., n) непрерывны в
области D, определенной неравенствами
D :
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
0
− a ≤ x ≤ x
0
+ a,
y
i0
− b
i
≤ y
i
≤ y
i0
+ b
i
(i =1, 2, ..., n),
2) все функции f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
)(i =1, 2, ..., n) удовле-
творяют условию Липшица
|f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
) − f
i
(x, z
1
,z
2
, ..., z
n
)|≤N
n
i=1
|y
i
− z
i
|,
где N = const, то существует единственное решение y
i
(x)(i =
1, 2, ..., n) x
0
−h ≤ x ≤ x
0
+h системы дифференциальных урав-
нений, удовлетворяющее начальным условиям y
i
(x
0
)=y
i0
(i =
1, 2, ..., n) где h<min
a,
b
i
/
M
,
1
/
nN
,M =max|f
i
(x, y
1
,y
2
, ..., y
n
)|
в D.
4.2. Особые точки, особые кривые, особые решения
Вернёмся к уравнениям y
= f(x, y). Рассмотрим точки
(x
0
,y
0
), в окрестности которых решение этого уравнения, удо-
влетворяющее условию y(x
0
)=y
0
, не существует или, если и
существует, то не единственно. Такие точки называются особы-
ми точками.
35
где ȳi   (i = 1, 2, ..., n) — координаты вектор-функции Ȳ , то
есть Ȳ является единственным решением системы (4.2). Тем
самым мы доказали теорему существования и единственности
решения для системы дифференциальных уравнений (4.1).
     Теорема. Если в системе дифференциальных уравнений
     dyi
         = fi(x, y1, y2, ..., yn), yi(x0) = yi0, (i = 1, 2, ..., n))
     dx
1) все функции fi(x, y1, y2, ..., yn) (i = 1, 2, ..., n) непрерывны в
области D, определенной неравенствами
                ⎧
                ⎪
                ⎪
                ⎨   x0 − a ≤ x ≤ x0 + a,
          D:    ⎪                                (i = 1, 2, ..., n),
                ⎪
                ⎩   yi0 − bi ≤ yi ≤ yi0 + bi
     2) все функции fi(x, y1, y2, ..., yn)        (i = 1, 2, ..., n) удовле-
творяют условию Липшица
                                                             n
                                                             
     |fi(x, y1, y2, ..., yn) − fi(x, z1, z2, ..., zn)| ≤ N         |yi − zi|,
                                                             i=1

где N = const, то существует единственное решение yi(x) (i =
1, 2, ..., n) x0 − h ≤ x ≤ x0 + h системы дифференциальных урав-
нений, удовлетворяющее начальным условиям yi(x0) = yi0 (i =
                                    
                            b     1
1, 2, ..., n) где h < min a, /M , /nN , M = max |fi(x, y1, y2, ..., yn)|
                              i

в D.

  4.2. Особые точки, особые кривые, особые решения

     Вернёмся к уравнениям y  = f (x, y). Рассмотрим точки
(x0, y0), в окрестности которых решение этого уравнения, удо-
влетворяющее условию y(x0) = y0, не существует или, если и
существует, то не единственно. Такие точки называются особы-
ми точками.
                                     35

Страницы