Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) принципа сжатых отображений: оператор A(y) переводит
точки пространства в точки того же пространства.
Потребуем, чтобы оператор A(y) был сжимающим, то есть
потребуем выполнения условия ρ (A(y),A(z)) = αρ(y, z); α<1.
ρ (A(y),A(z)) = max |A(y) − A(z)| =
=max
⎛
⎜
⎝
y
0
+
x
x
0
f(t, y)dt
⎞
⎟
⎠
−
⎛
⎜
⎝
y
0
+
x
x
0
f(t, z)dt
⎞
⎟
⎠
=
=max
x
x
0
[f(t, y) − f (t, z)] dt
≤ max
x
x
0
|f(t, y) − f (t, z)|dt
.
Воспользуемся условием Липшица |f(x, y) − f (x, z)|≤N |y − z|.
Получим ρ (A(y),A(z)) ≤ N · max
x
x
0
|y − z|dt
≤
≤ N ·max |y − z|·max
x
x
0
dt
= N ·max |y − z|·h = Nhρ(y, z).
Далее подберём h так, что Nh = α<1. Тогда получим, что
оператор A(y) удовлетворяет условию 2) определения, то есть
оператор A(y) — сжимающий.
Согласно принципу сжатых отображений, существует един-
ственная неподвижная точка оператора A(y), то есть существу-
ет единственное решение интегрального уравнения (3.2), а зна-
чит, и исходного дифференциального уравнения y
= f(x, y),
которое может быть найдено методом последовательных при-
ближений, то есть ¯y(x) = lim
n→∞
y
n
(x), где y
n
= A(y
n−1
), причем
начальная функция y
0
(x) выбирается произвольно.
29
1) принципа сжатых отображений: оператор A(y) переводит
точки пространства в точки того же пространства.
    Потребуем, чтобы оператор A(y) был сжимающим, то есть
потребуем выполнения условия ρ (A(y), A(z)) = α ρ(y, z); α < 1.


ρ (A(y), A(z)) = max |A(y) − A(z)| =
        ⎛                       ⎞       ⎛                            ⎞
                  x                              x                  
                                                                      
        ⎜
= max y +
        ⎝ 0
                       f (t, y)dt⎟   ⎜
                                  ⎠ − ⎝y 0 +            f (t, z)dt =  ⎟
                                                                      ⎠
                                                                       
                  x0                          x0                      

                                                                                     
         x                                             x                           
                                                                                     
                                                                                     
= max   
              [f (t, y) − f (t, z)] dt ≤ max
                                          
                                          
                                                         
                                                               |f (t, y) − f (t, z)| dt .
                                                                                        
                                                                                        
        x                                              x                             
           0                                                0



Воспользуемся условием Липшица |f (x, y) − f (x, z)| ≤ N |y − z| .
                                                                          
                                                         x               
                                                                          
                                                                          
Получим ρ (A(y), A(z)) ≤ N · max                        
                                                              |y − z| dt ≤
                                                                           
                                                        x                 
                                                           0
                                         
                                  x     
                                         
≤ N · max |y − z| · max          
                                 x     dt = N · max |y − z| · h = N hρ(y, z).
                                          
                                          
                                    0

Далее подберём h так, что N h = α < 1. Тогда получим, что
оператор A(y) удовлетворяет условию 2) определения, то есть
оператор A(y) — сжимающий.
    Согласно принципу сжатых отображений, существует един-
ственная неподвижная точка оператора A(y), то есть существу-
ет единственное решение интегрального уравнения (3.2), а зна-
чит, и исходного дифференциального уравнения y  = f (x, y),
которое может быть найдено методом последовательных при-
                           lim yn(x), где yn = A(yn−1), причем
ближений, то есть ȳ(x) = n→∞
начальная функция y0(x) выбирается произвольно.

                                              29

Страницы