Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) Для ∀ε>0 найдется такое N(ε), что при n>N(ε) будет
выполняться ρ(¯y, y
n
) <
ε
/
3
, так как ¯y =lim
n→∞
y
n
,
2) ρ(y
n
,y
n+1
) <
ε
/
3
, т.к. последовательность {y
n
} фундамен-
тальна.
3) ρ(y
n+1
, y)=ρ (A(y
n
),A(¯y)) <αρ(y
n
, ¯y) <
ε
/
3
.
Отсюда следует, что ρ(¯y,
y) <ε. В левой части этого неравен-
ства — расстояние между двумя фиксированными точками ¯y и
y, а в правой части — любое выбираемое произвольно и сколь
угодно малое число. Такое неравенство может быть выполнено
лишь в одном случае: если ρ(¯y,
y)=0, т.е. ¯y = y, A(¯y)=¯y.
C. Покажем, что точка ¯y единственная, то есть у сжима-
ющего оператора существует единственная неподвижная точ-
ка. Предположим, что существует еще одна неподвижная точка
¯z : A(¯z)=¯z. Вычислим расстояние между этими двумя точка-
ми. ρ(¯y, ¯z)=ρ (A(¯y),A(¯z)) = αρ(¯y, ¯z) <ρ(¯y, ¯z). Получили, что
ρ(¯y, ¯z) <ρ(¯y, ¯z). Противоречия можно избежать, только если
исходно положить ρ(¯y, ¯z)=0, и, следовательно, ¯y =¯z.
Принцип сжатых отображений доказан. Используем его для
доказательства теоремы Коши.
3.3. Доказательство теоремы Коши
Рассмотрим полное метрическое пространство, точками ко-
торого являются всевозможные непрерывные функции y(x),
определенные на отрезке [ x
0
− h, x
0
+ h ], графики кото-
рых лежат в прямоугольнике D, (рис. 2), а расстояние между
функциями определим равенством
ρ(y, z)=max|y − z|. (3.1)
27
1) Для ∀ε > 0 найдется такое N (ε), что при n > N (ε) будет
выполняться ρ(ȳ, yn) < ε/3, так как ȳ = n→∞
                                           lim yn,
2) ρ(yn, yn+1) < ε/3 , т.к. последовательность {yn} фундамен-
тальна.
3) ρ(yn+1, y) = ρ (A(yn), A(ȳ)) < αρ(yn, ȳ) < ε/3.
Отсюда следует, что ρ(ȳ, y) < ε. В левой части этого неравен-
ства — расстояние между двумя фиксированными точками ȳ и
y, а в правой части — любое выбираемое произвольно и сколь
угодно малое число. Такое неравенство может быть выполнено
лишь в одном случае: если ρ(ȳ, y) = 0, т.е. ȳ = y, A(ȳ) = ȳ.
     C. Покажем, что точка ȳ единственная, то есть у сжима-
ющего оператора существует единственная неподвижная точ-
ка. Предположим, что существует еще одна неподвижная точка
z̄ : A(z̄) = z̄. Вычислим расстояние между этими двумя точка-
ми. ρ(ȳ, z̄) = ρ (A(ȳ), A(z̄)) = αρ(ȳ, z̄) < ρ(ȳ, z̄). Получили, что
ρ(ȳ, z̄) < ρ(ȳ, z̄). Противоречия можно избежать, только если
исходно положить ρ(ȳ, z̄) = 0, и, следовательно, ȳ = z̄.
     Принцип сжатых отображений доказан. Используем его для
доказательства теоремы Коши.
             3.3. Доказательство теоремы Коши
     Рассмотрим полное метрическое пространство, точками ко-
торого являются всевозможные непрерывные функции y(x),
определенные на отрезке [ x0 − h,          x0 + h ], графики кото-
рых лежат в прямоугольнике D, (рис. 2), а расстояние между
функциями определим равенством
                        ρ(y, z) = max |y − z| .                    (3.1)
                                   27

Страницы