Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

найденное? Тогда возникнет следующий вопрос: а какое решение
"правильное"? Какое из них адекватно описывает исследуемый
нами физический процесс?
Ответ на эти вопросы дает теорема Коши. Из этой теоре-
мы следует, что если уравнение удовлетворяет определенным
условиям, то как бы мы ни решали это уравнение, найденное
решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям,
единственно и никакого другого решения не существует. Иначе
говоря, через данную точку проходит только одна интегральная
кривая.
Теорема Коши:
Если в уравнении y
= f (x, y) функция f(x, y)
1) непрерывна в прямоугольнике
D :
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
0
− a ≤ x ≤ x
0
+ a
y
0
− b ≤ y ≤ y
0
+ b
,
2) удовлетворяет условию Липшица
|f(x, y
1
) − f(x, y
2
)|≤N |y
1
− y
2
|,
где N = const, то существует единственное решение y =
y(x),x
0
− h ≤ x ≤ x
0
+ h, этого уравнения, удовлетворяющее
условию y(x
0
)=y
0
, где h<min[ a, b/M, 1/N ],M=
max f(x, y) в D.
Прежде чем доказать теорему, введем несколько новых для
нас понятий и докажем вспомогательную теорему.
Определение 1. Пространство V называется метриче-
ским, если в нем определена функция ρ(y, z) пар точек этого
24
найденное? Тогда возникнет следующий вопрос: а какое решение
"правильное"? Какое из них адекватно описывает исследуемый
нами физический процесс?
    Ответ на эти вопросы дает теорема Коши. Из этой теоре-
мы следует, что если уравнение удовлетворяет определенным
условиям, то как бы мы ни решали это уравнение, найденное
решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям,
единственно и никакого другого решения не существует. Иначе
говоря, через данную точку проходит только одна интегральная
кривая.
    Теорема Коши:
Если в уравнении y  = f (x, y) функция f (x, y)
    1) непрерывна в прямоугольнике
                         ⎧
                         ⎪
                         ⎪
                         ⎨   x0 − a ≤ x ≤ x 0 + a
                    D:   ⎪                          ,
                         ⎪
                         ⎩   y0 − b ≤ y ≤ y 0 + b
    2) удовлетворяет условию Липшица

               |f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ N |y1 − y2| ,

где N = const, то существует единственное решение y =
y(x), x0 − h ≤ x ≤ x0 + h, этого уравнения, удовлетворяющее
условию y(x0) = y0, где h < min[ a, b/M , 1/N ], M =
max f (x, y) в D.
    Прежде чем доказать теорему, введем несколько новых для
нас понятий и докажем вспомогательную теорему.
    Определение 1. Пространство V называется метриче-
ским, если в нем определена функция ρ(y, z) пар точек этого

                                   24

Страницы