Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и
μM =
∂U
∂x
,μN=
∂U
∂y
.
В общем случае задача отыскания интегрирующего множителя не яв-
ляется простой задачей. Действительно, из определения интегрирующего
множителя и условия (2.13) имеем
∂(μM)
∂y
=
∂(μN)
∂x
,
откуда
N
∂μ
∂x
− M
∂μ
∂y
=
∂M
∂y
−
∂N
∂x
μ,
или, разделив обе части этого уравнения на μ, получим
N
∂ln μ
∂x
− M
∂ln μ
∂y
=
∂M
∂y
−
∂N
∂x
. (2.16)
Отсюда следует, что для определения интегрирующего множителя μ(x, y)
надо решить дифференциальное уравнение первого порядка в частных про-
изводных. Эта задача в общем случае еще более сложная, чем решение
исходного уравнения (2.12). Однако в некоторых случаях интегрирующий
множитель удается отыскать при некоторых упрощающих предположениях.
Рассмотрим, например, случай, когда существует интегрирующий мно-
житель, являющийся функцией только переменной x. Тогда уравнение (2.16)
примет вид
∂ln μ
∂x
=
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
.
Для существования интегрирующего множителя необходимо, чтобы правая
часть этого уравнения была функцией, не зависящей от переменной y.Тогда
интегрирующий множитель находится непосредственным интегрированием.
Пример. Решить уравнение
⎛
⎝
2xy + x
2
y +
y
3
3
⎞
⎠
dx +(x
2
+ y
2
) dy =0.
Решение. Замечая, что
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
=
2x + x
2
+ y
2
− 2x
x
2
+ y
2
=1,
22
и
                                ∂U        ∂U
                         μM =      , μN =    .
                                ∂x        ∂y
     В общем случае задача отыскания интегрирующего множителя не яв-
ляется простой задачей. Действительно, из определения интегрирующего
множителя и условия (2.13) имеем
                             ∂(μM ) ∂(μN )
                                   =       ,
                               ∂y     ∂x
откуда                                             
                       ∂μ      ∂μ     ∂M ∂N
                    N     −M       =      −       μ,
                       ∂x       ∂y    ∂y     ∂x
или, разделив обе части этого уравнения на μ, получим
                         ∂ln μ    ∂ln μ ∂M ∂N
                     N         −M      =    −    .                (2.16)
                          ∂x       ∂y    ∂y   ∂x
Отсюда следует, что для определения интегрирующего множителя μ(x, y)
надо решить дифференциальное уравнение первого порядка в частных про-
изводных. Эта задача в общем случае еще более сложная, чем решение
исходного уравнения (2.12). Однако в некоторых случаях интегрирующий
множитель удается отыскать при некоторых упрощающих предположениях.
     Рассмотрим, например, случай, когда существует интегрирующий мно-
житель, являющийся функцией только переменной x. Тогда уравнение (2.16)
примет вид
                                  ∂M ∂N
                                      −
                          ∂ln μ    ∂y     ∂x
                                =            .
                            ∂x        N
Для существования интегрирующего множителя необходимо, чтобы правая
часть этого уравнения была функцией, не зависящей от переменной y. Тогда
интегрирующий множитель находится непосредственным интегрированием.
     Пример. Решить уравнение
                ⎛                ⎞
                ⎝2xy + x2 y +
                              y3 ⎠
                                   dx + (x2 + y 2 ) dy = 0 .
                              3
     Решение. Замечая, что
                    ∂M ∂N
                       −
                    ∂y   ∂x   2x + x2 + y 2 − 2x
                            =                    =1,
                       N           x2 + y 2
                                     22

Страницы