Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Найдя его общее решение и произведя обратную замену, полу-
чим общее решение уравнения Бернулли.
2.5. Уравнение Риккати
Уравнение Риккати не относится к линейным уравнениям:
y
(x)+a(x)y + b(x)y
2
= c(x). (2.11)
В общем виде оно не интегрируется в квадратурах, но заменой
переменных может быть преобразовано в уравнение Бернулли,
если известно частное решение y
1
(x) этого уравнения. Дей-
ствительно, полагая y(x)=y
1
(x)+z(x), где z(x) — новая
неизвестная функция, получим
y
1
(x)+z
(x)+a(x)[y
1
(x)+z(x)] + b(x)[y
1
(x)+z(x)]
2
= c(x).
Поскольку y
1
(x)+a(x)y
1
+ b(x)y
2
1
≡ c(x), раскрывая скобки,
получим относительно z(x) уравнение Бернулли:
z
+(a(x)+2b(x)y
1
(x)) z + b(x)z
2
=0.
2.6. Уравнения в полных дифференциалах
Мы уже записывали дифференциальное уравнение первого
порядка в виде
M(x, y) dx + N(x, y) dy =0, (2.12)
где M(x, y) и N(x, y) — некоторые функции двух переменных.
В том случае, когда выражение в правой части уравне-
ния (2.12) является полным дифференциалом некоторой функ-
ции двух переменных, уравнение (2.12) называется уравнением
19
Найдя его общее решение и произведя обратную замену, полу-
чим общее решение уравнения Бернулли.

                   2.5. Уравнение Риккати

    Уравнение Риккати не относится к линейным уравнениям:

                   y (x) + a(x)y + b(x)y 2 = c(x).              (2.11)

В общем виде оно не интегрируется в квадратурах, но заменой
переменных может быть преобразовано в уравнение Бернулли,
если известно частное решение y1(x) этого уравнения. Дей-
ствительно, полагая y(x) = y1(x) + z(x), где z(x) — новая
неизвестная функция, получим

 y1 (x) + z (x) + a(x) [y1(x) + z(x)] + b(x) [y1(x) + z(x)]2 = c(x).

Поскольку y1 (x) + a(x)y1 + b(x)y12 ≡ c(x), раскрывая скобки,
получим относительно z(x) уравнение Бернулли:

              z  + (a(x) + 2b(x)y1(x)) z + b(x)z 2 = 0.

       2.6. Уравнения в полных дифференциалах

    Мы уже записывали дифференциальное уравнение первого
порядка в виде

                   M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 ,               (2.12)

где M (x, y) и N (x, y) — некоторые функции двух переменных.
    В том случае, когда выражение в правой части уравне-
ния (2.12) является полным дифференциалом некоторой функ-
ции двух переменных, уравнение (2.12) называется уравнением
                                  19

Страницы