Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где C — произвольная постоянная, а
F (y)=
f(y) dy , G(x)=
g(x) dx .
В общем случае уравнение с разделяющимися переменны-
ми — это уравнение вида
M
1
(x) M
2
(y) dx + N
1
(x) N
2
(y) dy =0.
Разделяя в нем переменные и предполагая, что M
2
· N
1
=0,
получим
N
2
(y)
M
2
(y)
dy = −
M
1
(x)
N
1
(x)
dx .
Общий интеграл этого уравнения будет иметь вид
N
2
(y)
M
2
(y)
dy = −
M
1
(x)
N
1
(x)
dx + C.
2.2. Однородные уравнения
Следующий тип легко интегрируемых обыкновенных диф-
ференциальных уравнений — это однородные уравнения. Одно-
родным уравнением называется уравнение вида
y
= f
y
x
. (2.5)
Если же дифференциальное уравнение задано в виде (2.3), то
есть в виде
M(x, y) dx + N(x, y) dy =0,
то оно называется однородным, если функции M(x, y) и N(x, y)
являются однородными функциями одной и той же степени.
Определение. Функция M(x, y) называется однородной
функцией степени n, если для любого k выполняется соотноше-
ние M(kx, ky)=k
n
M(x, y).
14
где C — произвольная постоянная, а
                                               
              F (y) =       f (y) dy , G(x) =       g(x) dx .

    В общем случае уравнение с разделяющимися переменны-
ми — это уравнение вида

              M1(x) M2(y) dx + N1(x) N2(y) dy = 0 .

Разделяя в нем переменные и предполагая, что M2 · N1 = 0,
получим
                  N2(y)        M1(x)
                        dy = −       dx .
                 M2(y)         N1(x)
Общий интеграл этого уравнения будет иметь вид
                   N2(y)         M (x)
                                    1
                          dy = −         dx + C .
                    M2(y)          N1(x)

                2.2. Однородные уравнения

    Следующий тип легко интегрируемых обыкновенных диф-
ференциальных уравнений — это однородные уравнения. Одно-
родным уравнением называется уравнение вида
                             y
                       y =f      .                   (2.5)
                              x
Если же дифференциальное уравнение задано в виде (2.3), то
есть в виде
                    M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 ,
то оно называется однородным, если функции M (x, y) и N (x, y)
являются однородными функциями одной и той же степени.
    Определение. Функция M (x, y) называется однородной
функцией степени n, если для любого k выполняется соотноше-
ние M (kx, ky) = k nM (x, y).
                                    14

Страницы