Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Коши, необходимо составить и решить систему
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Φ(x
0
,C
1
,C
2
,...,C
n
)=y
0
,
Φ
(x
0
,C
1
,C
2
,...,C
n
)=y
1
,
..............
Φ
(n−1)
(x
0
,C
1
,C
2
,...,C
n
)=y
n−1
.
Это система из n уравнений с n неизвестными величина-
ми C
1
,C
2
, ..., C
n
, которые, в силу теоремы о существовании и
единственности неявной функции, определяются из этой систе-
мы однозначно. Подставив найденные константы в общее реше-
ние (1.3), получим частное решение, удовлетворяющее началь-
ным условиям задачи Коши.
Пример. Рассмотрим физическую задачу о падении первоначально
покоящегося тела с высоты h. Выберем систему координат, направив вверх
ось x с началом координат на поверхности Земли. Функция x = x(t) бу-
дет определять положение x тела во времени t. Из физики мы знаем, что
все тела у поверхности Земли падают с одним и тем же ускорением g,а
ускорение — это вторая производная от координаты по времени. При сде-
ланном нами выборе системы координат ускорение свободного падения g
направлено в сторону, противоположную направлению оси x, поэтому для
решения поставленной задачи необходимо решить следующее дифференци-
альное уравнение второго порядка:
x

(t)=−g
с начальными условиями x(0) = h, x
(0) = 0, при условии, что в момент
времени t =0тело покоилось и находилось на высоте h. Первый интеграл
этого уравнения дает
x
(t)=
(−g) dt = −gt + C
1
,
второй интеграл —
x(t)=−
gt
2
2
+ C
1
t + C
2
.
6
Коши, необходимо составить и решить систему
               ⎧
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
                       Φ(x0, C1, C2, . . . , Cn) = y0,
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎨       Φ(x0, C1, C2, . . . , Cn) = y1,
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
                      . . . . . . . . . . . . . .
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎪
               ⎩    Φ(n−1)(x0, C1, C2, . . . , Cn) = yn−1.
Это система из n уравнений с n неизвестными величина-
ми C1, C2, ..., Cn, которые, в силу теоремы о существовании и
единственности неявной функции, определяются из этой систе-
мы однозначно. Подставив найденные константы в общее реше-
ние (1.3), получим частное решение, удовлетворяющее началь-
ным условиям задачи Коши.
     Пример. Рассмотрим физическую задачу о падении первоначально
покоящегося тела с высоты h. Выберем систему координат, направив вверх
ось x с началом координат на поверхности Земли. Функция x = x(t) бу-
дет определять положение x тела во времени t. Из физики мы знаем, что
все тела у поверхности Земли падают с одним и тем же ускорением g, а
ускорение — это вторая производная от координаты по времени. При сде-
ланном нами выборе системы координат ускорение свободного падения g
направлено в сторону, противоположную направлению оси x, поэтому для
решения поставленной задачи необходимо решить следующее дифференци-
альное уравнение второго порядка:

                                      x (t) = −g

с начальными условиями x(0) = h, x (0) = 0, при условии, что в момент
времени t = 0 тело покоилось и находилось на высоте h. Первый интеграл
этого уравнения дает
                                  
                         
                       x (t) = (−g) dt = −gt + C1 ,

второй интеграл —
                                      gt2
                             x(t) = −     + C1 t + C2 .
                                       2
                                           6

Страницы