Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.8. Упражнения
1. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода
ZZ
S
x
2
yz dS ,
где S — часть плоскости x + y + z = 1 , лежащая в первом октанте.
2. Определить массу, распределенную на части поверхности гипербо-
лического параболоида 2az = x
2
− y
2
, вырезаемой круговым цилиндром
x
2
+y
2
= a
2
, если плотность в каждой точке поверхности равна k|z| , где
k > 0 — коэффициент пропорциональности.
3. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
ZZ
S
y dx dz ,
где S — верхняя сторона части плоскости x + y + z = a , лежащей в
первом октанте.
4. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
ZZ
S
z
2
dx dy ,
где S — верхняя сторона полусферы x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
, z > 0 .
5. Найти поток векторного поля F = x
2
i − y
2
j + z
2
k через поверх-
ность тела, ограниченного поверхностями x
2
+y
2
+z
2
= 3R
2
, x
2
+y
2
−z
2
=
R
2
, z = 0 в направлении внешней нормали.
6. Покажите, что ротор поля скоростей материальной среды равен
удвоенному вектору угловой скорости вращения среды непосредствен-
ным вычислением ротора в некоторой декартовой системе координат.
Указание. Воспользуйтесь выведенным в параграфе 5.4 соотношени-
ем rot A = rot [Ω, r] . Вычислите компоненты поля [Ω, r] в декартовой
121
                          5.8. Упражнения

   1. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода
                           ZZ
                              x2 yz dS ,
                              S
где S — часть плоскости x + y + z = 1 , лежащая в первом октанте.
    2. Определить массу, распределенную на части поверхности гипербо-
лического параболоида 2az = x2 − y2 , вырезаемой круговым цилиндром
x2 + y2 = a2 , если плотность в каждой точке поверхности равна k|z| , где
k > 0 — коэффициент пропорциональности.
    3. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
                                ZZ
                                   y dx dz ,
                              S
где S — верхняя сторона части плоскости x + y + z = a , лежащей в
первом октанте.
   4. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
                              ZZ
                                   z2 dx dy ,
                           S
где S — верхняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = R2 , z > 0 .
   5. Найти поток векторного поля F = x2 i − y2 j + z2 k через поверх-
ность тела, ограниченного поверхностями x2 +y2 +z2 = 3R2 , x2 +y2 −z2 =
R2 , z = 0 в направлении внешней нормали.
   6. Покажите, что ротор поля скоростей материальной среды равен
удвоенному вектору угловой скорости вращения среды непосредствен-
ным вычислением ротора в некоторой декартовой системе координат.
   Указание. Воспользуйтесь выведенным в параграфе 5.4 соотношени-
ем rot A = rot [Ω, r] . Вычислите компоненты поля [Ω, r] в декартовой


                                    121

Страницы