Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Складывая доказанные формулы, получим утверждение теоремы. Тео-
рема доказана.
Из определения ротора rot F видно, что он является векторным по-
лем, порождаемым векторным полем F . Однако это определение страда-
ет тем же недостатком, что и приведенное нами ранее подобное определе-
ние дивергенции, то есть в нем используется определенная координатная
система. Покажем, что ротор не зависит от выбора системы координат.
Возьмем некоторую точку (x
0
, y
0
, z
0
) в области определения поля F .
Выберем любое направление n , исходящее из этой точки, и окружим ее
в перпендикулярной к n плоскости некоторой площадкой S , ограничен-
ной контуром C . Если воспользоваться формулой Стокса, разделив обе
ее части на площадь S площадки S
ZZ
S
(rot F, dS )
S
=
I
C
(F, dl )
S
,
перейти к пределу S → 0 , стягивая площадку S , а значит и контур
C в точку (x
0
, y
0
, z
0
) , и воспользоваться теоремой о среднем значении
для интеграла, стоящего в левой части равенства, то получится значение
проекции ротора на направление n в этой точке:
rot
n
F
|
(x
0
,y
0
,z
0
)
= (rot F, n)
|
(x
0
,y
0
,z
0
)
= lim
S→0
C→(x
0
,y
0
,z
0
)
I
C
(F, dl)
S
.
Таким образом, удается определить проекцию вектора rot F на любую
ось, а значит, и сам вектор. Это равенство может служить определением
ротора, причем в этой форме определение уже не зависит от координат-
ной системы. Итак, можно утверждать, что ротор – это векторное поле,
порождаемое векторным полем.
Для понимания смысла ротора, снова обратимся к физической ана-
логии. Пусть поле F есть поле скоростей материальной среды. Из по-
119
Складывая доказанные формулы, получим утверждение теоремы. Тео-
рема доказана.
   Из определения ротора rot F видно, что он является векторным по-
лем, порождаемым векторным полем F . Однако это определение страда-
ет тем же недостатком, что и приведенное нами ранее подобное определе-
ние дивергенции, то есть в нем используется определенная координатная
система. Покажем, что ротор не зависит от выбора системы координат.
Возьмем некоторую точку (x0 , y0 , z0 ) в области определения поля F .
Выберем любое направление n , исходящее из этой точки, и окружим ее
в перпендикулярной к n плоскости некоторой площадкой S , ограничен-
ной контуром C . Если воспользоваться формулой Стокса, разделив обе
ее части на площадь S площадки S
                     ZZ                                       I
                        (rot F, dS)                                 (F, dl)
                                    S                   =C                     ,
                                           S                         S
перейти к пределу S → 0 , стягивая площадку S , а значит и контур
C в точку (x0 , y0 , z0 ) , и воспользоваться теоремой о среднем значении
для интеграла, стоящего в левой части равенства, то получится значение
проекции ротора на направление n в этой точке:
                                                          I
                                                            (F, dl)

       rot n F |(x                 = (rot F, n) |(x                 =         lim          C       .
                     0 ,y0 ,z0 )                      0 ,y0 ,z0 )           S→0                S
                                                                         C→(x0 ,y0 ,z0 )

Таким образом, удается определить проекцию вектора rot F на любую
ось, а значит, и сам вектор. Это равенство может служить определением
ротора, причем в этой форме определение уже не зависит от координат-
ной системы. Итак, можно утверждать, что ротор – это векторное поле,
порождаемое векторным полем.
   Для понимания смысла ротора, снова обратимся к физической ана-
логии. Пусть поле F есть поле скоростей материальной среды. Из по-

                                                 119

Страницы