Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 117 стр.

   Выберем на поверхности P , а значит и на поверхности S , поле еди-
ничных нормалей n . Ориентируем контур C так, чтобы при обходе по
нему точки поверхности S оставались слева если смотреть на поверх-
ность S с выбранной стороны. Такие ориентации поверхности S и ее
границы C называют согласованными.
   Пусть замкнутая область D такова, что можно воспользоваться фор-
мулой Грина и пусть в области V (V ⊃ P) задано непрерывно-диффе-
ренцируемое векторное поле

             F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k .

Тогда в предположении согласованной ориентации поверхности S и ее
границы C = ∂S имеет место следующая формула
                     I
                       P dx + Q dy + R dz =
                      C
     ZZ µµ       ¶        µ         ¶        µ        ¶      ¶
           ∂R ∂Q            ∂P ∂R              ∂Q ∂P
   =         −     cos α+      −      cos β+     −      cos γ dS ,
           ∂y ∂z            ∂z ∂x              ∂x ∂y
     S
которая называется формулой Стокса. В правой части формулы Стокса
стоит поверхностный интеграл I-го рода, который является выражением
для поверхностного интеграла II-го рода по поверхности S от некоторой
вектор-функции.
   Определение. Вектор-функция с координатами
             µ                              ¶
                ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
                   −    ,   −     ,    −      ,
                ∂y   ∂z ∂z ∂x ∂x         ∂y
называется ротором векторного поля F(x, y, z) и обозначается симво-
лом
                                            rot F ,
то есть
                     µ             ¶        µ           ¶        µ             ¶
               def       ∂R ∂Q                  ∂P ∂R                ∂Q ∂P
          rot F =           −          i+         −         j+          −          k.
                         ∂y   ∂z                ∂z ∂x                ∂x   ∂y
                                                117