Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 116 стр.

div F < 0 (стоки). Величину дивергенции div F часто называют поэтому
мощностью (плотностью) источников векторного поля F .


                  5.7. Циркуляция векторного поля.
                         Формула Стокса. Ротор

   Пусть задано векторное поле F(x, y, z) и некоторый замкнутый ори-
ентированный контур C . Рассмотрим векторное поле F(x, y, z) в точках
этого контура и построим его проекцию на касательное направление к
контуру в направлении его обхода. Величину этой проекции будем обо-
значать через Fl , то есть Fl = Прdl F(x, y, z) , где dl бесконечно малый
вектор смещения по контуру C в направлении его обхода.
   Определение. Криволинейный интеграл II-го рода
             I          Z       I
               (F, dl) = Fl dl = P dx + Q dy + R dz
              C           C         C
по замкнутому контуру C , называется циркуляцией векторного поля
F(x, y, z) по контуру C .
   Пусть P — гладкая (класса C2 ) регулярная поверхность без само-
пересечений P : r = r(u, v) , (u, v) ∈ G ⊂ E2 , и пусть Γ ⊂ G простой
замкнутый контур в координатной области G поверхности P
                      ±
                         u = u(t) ,
                   Γ:
                          v = v(t) , τ1 6 t 6 τ2 ,

где функции u = u(t) и v = v(t) класса C2 . Обозначим D — область,
ограниченную контуром Γ .
   Уравнение r = r(u(t), v(t)) , τ1 6 t 6 τ2 задает простой замкнутый
контур C , лежащий на поверхности P . Обозначим S : r = r(u, v) ,
(u, v) ∈ D часть поверхности P . При этих условиях говорят, что контур
C является границей (краем) поверхности S и пишут C = ∂S . Про
поверхность S при этом говорят, что она натянута на контур C .

                                   116