Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

сверху соответственно, D
xy
— проекция тела V на координатную плос-
кость xy .
Вычислим тройной интеграл
ZZZ
V
∂R
∂z
dx dy dz =
ZZ
D
xy
dx dy
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
∂R
∂z
dz =
ZZ
D
xy
(R(x, y, z
2
(x, y)) − R(x, y, z
1
(x, y))) dx dy =
=
ZZ
S
ниж
R cos γ dS +
ZZ
S
верх
R cos γ dS +
ZZ
S
бок
R cos γ dS =
=
ZZ
S
R cos γ dS =
ZZ
S
R dx dy ,
где мы учли, что поверхностный интеграл через боковую цилиндриче-
скую поверхность
ZZ
S
бок
R cos γ dS = 0 .
Аналогично доказываются равенства
ZZZ
V
∂P
∂z
dx dy dz =
ZZ
S
P dy dz ,
ZZZ
V
∂Q
∂z
dx dy dz =
ZZ
S
Q dz dx .
Складывая все доказанные равенства почленно, получим утверждение
теоремы. Очевидно, что эта теорема верна также для случая произволь-
ной области V , которую можно разбить на конечное число подобластей
элементарных относительно координатных осей, что практически всегда
можно сделать. Теорема доказана.
114
сверху соответственно, Dxy — проекция тела V на координатную плос-
кость xy .
   Вычислим тройной интеграл

               ZZZ                          ZZ           z2 (x,y)
                                                            Z
                     ∂R                                             ∂R
                        dx dy dz =               dx dy                 dz =
                     ∂z                                             ∂z
                V                           Dxy          z1 (x,y)

               ZZ
                    (R(x, y, z2 (x, y)) − R(x, y, z1 (x, y))) dx dy =
               Dxy
                ZZ                    ZZ                   ZZ
           =         R cos γ dS +          R cos γ dS +         R cos γ dS =
                Sниж                  Sверх                 Sбок
                             ZZ                   ZZ
                         =        R cos γ dS =         R dx dy ,
                      S             S
где мы учли, что поверхностный интеграл через боковую цилиндриче-
скую поверхность          ZZ
                                      R cos γ dS = 0 .
                            Sбок
   Аналогично доказываются равенства
                     ZZZ              ZZ
                         ∂P
                            dx dy dz = P dy dz ,
                         ∂z
                      V               S
                    ZZZ               ZZ
                         ∂Q
                            dx dy dz = Q dz dx .
                         ∂z
                     V                S
Складывая все доказанные равенства почленно, получим утверждение
теоремы. Очевидно, что эта теорема верна также для случая произволь-
ной области V , которую можно разбить на конечное число подобластей
элементарных относительно координатных осей, что практически всегда
можно сделать. Теорема доказана.

                                           114

Страницы