Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 112 стр.

                   5.6. Поток векторного поля.
        Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция

   Пусть задано векторное поле F(x, y, z) и ориентируемая поверхность
S с выбранным на ней полем единичных нормалей n . Рассмотрим век-
торное поле F(x, y, z) в точках поверхности S и построим его проек-
цию на нормаль n в каждой точке. Проекцию векторного поля на поле
нормалей будем обозначать Fn . Она является скалярной функцией на
поверхности S .
   Определение. Поверхностный интеграл II-го рода
       ZZ           ZZ        ZZ
          (F, dS) =    Fn dS = P dy dz + Q dz dx + R dx dy ,
       S           S         S
называется потоком векторного поля F(x, y, z) через поверхность S в
выбранном направлении n .
   В предыдущей главе было показано, что если векторное поле пред-
ставляет из себя поле скоростей некоторой материальной среды, то вве-
денное нами понятие потока векторного поля совпадает с его физическим
аналогом и с нашими интуитивными представлениями.
   Определение. Говорят, что область V ⊂ E3 элементарна относи-
тельно некоторой оси (прямой в пространстве), если она целиком содер-
жит любой отрезок, параллельный этой оси, концы которого принадле-
жат области.
   Рассмотрим некоторую область V ⊂ E3 , элементарную относительно
координатных осей декартовой системы координат и ограниченную за-
мкнутой поверхностью S . Ориентируем поверхность S полем n внеш-
них по отношению к области V единичных нормалей. Пусть дано непре-
рывно дифференцируемое векторное поле F(x, y, z) , определенное в об-
ласти G (G ⊃ V) . Тогда имеет место следующая формула
   ZZ                               ZZZ µ              ¶
                                          ∂P ∂Q ∂R
      P dy dz + Q dz dx + R dx dy =          +    +      dx dy dz ,
                                          ∂x   ∂y   ∂z
   S                                 V
                                 112