Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Вычислим интеграл
ZZ
S
z
2
dx dy .
Так как явное уравнение сферы будет:
z − c = ±
q
R
2
− (x − a)
2
− (y − b)
2
,
где плюс отвечает верхней полусфере, а минус — нижней, то удобно пред-
ставить подинтегральную функцию z
2
в виде:
z
2
= (z − c)
2
+ c
2
+ 2c(z − c) .
Сумма первых двух членов, будучи проинтегрирована по верхней сто-
роне верхней полусферы и нижней стороне нижней полусферы, дает
результаты разных знаков, которые взаимно уничтожаются. Последний
член сам меняет знак при переходе от верхней полусферы к нижней,
поэтому при интегрировании дает по ним равные результаты, так что
ZZ
S
z
2
dx dy = 4c
ZZ
D
q
R
2
− (x − a)
2
− (y − b)
2
dx dy =
8
3
πcR
3
,
где D — это круг, ограниченный окружностью (x − a)
2
+ (y − b)
2
= R
2
.
Аналогично вычисляются два других интеграла
ZZ
S
x
2
dy dz ,
ZZ
S
y
2
dz dx ,
что окончательно дает:
ZZ
S
x
2
dy dz + y
2
dz dx + z
2
dx dy =
8
3
πR
3
(a + b + c) .
111
   Решение. Вычислим интеграл
                          ZZ
                             z2 dx dy .
                             S
Так как явное уравнение сферы будет:
                         q
                z − c = ± R2 − (x − a)2 − (y − b)2 ,

где плюс отвечает верхней полусфере, а минус — нижней, то удобно пред-
ставить подинтегральную функцию z2 в виде:

                    z2 = (z − c)2 + c2 + 2c(z − c) .

Сумма первых двух членов, будучи проинтегрирована по верхней сто-
роне верхней полусферы и нижней стороне нижней полусферы, дает
результаты разных знаков, которые взаимно уничтожаются. Последний
член сам меняет знак при переходе от верхней полусферы к нижней,
поэтому при интегрировании дает по ним равные результаты, так что
     ZZ              ZZ q
         2                                                8
        z dx dy = 4c      R2 − (x − a)2 − (y − b)2 dx dy = πcR3 ,
                                                          3
     S               D
где D — это круг, ограниченный окружностью (x − a)2 + (y − b)2 = R2 .
Аналогично вычисляются два других интеграла
                      ZZ           ZZ
                          2
                         x dy dz ,    y2 dz dx ,
                       S            S
что окончательно дает:
         ZZ
                                            8
            x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy = πR3 (a + b + c) .
                                            3
         S




                                  111

Страницы