Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда поверхностный интеграл II-го рода можно вычислить по формуле:
ZZ
S
P(x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy =
=
ZZ
D
00
P(x(y, z), y, z) dy dz +
ZZ
D
0
Q(x, y(x, z), z) dz dx +
+
ZZ
D
R(x, y, z(x, y)) dx dy ,
где подразумевается, что уравнение поверхности S можно одновременно
записать в трех вариантах явной формы: z = z(x, y) , x = x (y, z ) и y =
y(x, z) . Следует однако отметить, что знаки слагаемых в этой формуле
должны быть такими же, как знаки соответствующих направляющих
косинусов векторов нормалей, поэтому следует внимательно следить за
этим соответствием знаков исходя из геометрии поверхности.
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
ZZ
S
(x
2
+ y
2
) dx dy ,
где поверхность S — это нижняя сторона круга x
2
+ y
2
6 R
2
, z = 0 .
Решение. Поскольку поверхность S совпадает со своей проекцией D
на плоскость xy , то, учитывая, что n(x, y) = ( 0, 0, −1) , имеем:
ZZ
S
(x
2
+ y
2
) dx dy = −
ZZ
D
(x
2
+ y
2
) dx dy = −
π
2
R
4
.
Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
ZZ
S
x
2
dy dz + y
2
dz dx + z
2
dx dy ,
где поверхность S — это внешняя сторона сферы
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
.
110
Тогда поверхностный интеграл II-го рода можно вычислить по формуле:
       ZZ
          P(x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy =
       S
           ZZ                                   ZZ
       =          P(x(y, z), y, z) dy dz +           Q(x, y(x, z), z) dz dx +
           D 00                                 D0
                              ZZ
                          +        R(x, y, z(x, y)) dx dy ,
                          D
где подразумевается, что уравнение поверхности S можно одновременно
записать в трех вариантах явной формы: z = z(x, y) , x = x(y, z) и y =
y(x, z) . Следует однако отметить, что знаки слагаемых в этой формуле
должны быть такими же, как знаки соответствующих направляющих
косинусов векторов нормалей, поэтому следует внимательно следить за
этим соответствием знаков исходя из геометрии поверхности.
   Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
                      ZZ
                         (x2 + y2 ) dx dy ,
                               S
где поверхность S — это нижняя сторона круга x2 + y2 6 R2 , z = 0 .
   Решение. Поскольку поверхность S совпадает со своей проекцией D
на плоскость xy , то, учитывая, что n(x, y) = (0, 0, −1) , имеем:
          ZZ                     ZZ
                                                         π
             (x + y ) dx dy = − (x2 + y2 ) dx dy = − R4 .
               2     2
                                                         2
           S                     D
   Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода
               ZZ
                  x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy ,
                      S
где поверхность S — это внешняя сторона сферы

                     (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .

                                          110

Страницы