Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 108 стр.

где
               A                          B                         C
cos α = √                , cos β = √                , cos γ = √                .
         A 2 + B2 + C 2              A 2 + B2 + C 2             A2 + B 2 + C 2
Здесь cos α , cos β , cos γ — косинусы направляющих углов вектора нор-
мали, то есть углов, которые вектор нормали составляет с осями x , y и
z декартовой координатной системы. Очевидно, что

                             cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .

    Учитывая все выше изложенное, поверхностный интеграл II-го ро-
да от вектор-функции F(x, y, z) по поверхности S можно переписать в
виде:               ZZ                        ZZ
                         (F(x, y, z), dS) =         (F(x, y, z), n) dS =

            ZZ      S                         S
        =        (P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ) dS ,
          S
где в правой части стоит поверхностный интеграл I-го рода от скалярной
функции P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ . Полученная
нами формула называется формулой сведения поверхностного интегра-
ла II-го рода к поверхностному интегралу I-го рода. Эта формула слу-
жит для вычисления поверхностных интегралов II-го рода.
    Проанализируем это выражение. Величина dS cos α — это проекция
бесконечно малого участка поверхности dS на координатную плоскость
yz , в силу чего мы можем записать dy dz = dS cos α . По аналогичным
соображениям dz dx = dS cos β , dx dy = dS cos γ , поэтому поверхност-
ный интеграл II-го рода можно переписать в виде:
ZZ                   ZZ
   (F(x, y, z), dS) = P(x, y, z) dy dz+Q(x, y, z) dz dx+R(x, y, z) dx dy.
S                 S
Это координатная запись поверхностного интеграла II-го рода, позволя-
ющая записать этот интеграл через функции компонент векторного по-
ля F(x, y, z) . Следует заметить, что при равенстве нулю некоторых из

                                              108