Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.5. Сведение поверхностного интеграла II-го рода
к поверхностному интегралу I-го рода
Рассмотрим снова гладкую регулярную поверхность
S :
x = x(u, v) ,
y = y(u, v) ,
z = z(u, v) ,
без самопересечений, ориентированную с помощью поля единичных век-
торов нормалей
n(u, v) =
N(u, v)
|N(u, v)|
=
h
∂r
∂u
(u, v),
∂r
∂v
(u, v)
i
|
h
∂r
∂u
(u, v),
∂r
∂v
(u, v)
i
|
.
Компоненты векторного произведения
·
∂r
∂u
(u, v),
∂r
∂v
(u, v)
¸
= (A(u, v), B(u, v), C(u, v)) ,
где
A =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂y
∂u
∂z
∂u
∂y
∂v
∂z
∂v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, B =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂z
∂u
∂x
∂u
∂z
∂v
∂x
∂v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, C =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Модуль вектора нормали N(u, v) , следовательно, равен:
|N(u, v)| =
p
A
2
+ B
2
+ C
2
.
Сравнение с соответствующей формулой из параграфа 5.1 даст нам, в
частности, следующее равенство:
A
2
+ B
2
+ C
2
= EG − F
2
.
Таким образом, компоненты поля единичных векторов нормалей имеют
вид:
n(u, v) = (cos α, cos β, cos γ) ,
107
         5.5. Сведение поверхностного интеграла II-го рода
                 к поверхностному интегралу I-го рода

      Рассмотрим снова гладкую регулярную поверхность
                              
                              
                               x = x(u, v) ,
                           S:   y = y(u, v) ,
                              
                              
                                z = z(u, v) ,

без самопересечений, ориентированную с помощью поля единичных век-
торов нормалей
                                      h                   i
                                      ∂r (u, v), ∂r (u, v)
                          N(u, v)     ∂u         ∂v
               n(u, v) =          = h                     i .
                         |N(u, v)| | ∂r (u, v), ∂r (u, v) |
                                      ∂u         ∂v
Компоненты векторного произведения
         ·                  ¸
           ∂r        ∂r
              (u, v), (u, v) = (A(u, v), B(u, v), C(u, v)) ,
           ∂u        ∂v
где         ¯        ¯                           ¯              ¯
            ¯ ∂y ∂z ¯         ¯         ¯        ¯ ∂x ∂y        ¯
            ¯        ¯        ¯ ∂z  ∂x  ¯        ¯              ¯
            ¯ ∂u ∂u ¯         ¯ ∂u  ∂u  ¯
        A=¯          ¯ , B = ¯¯         ¯ , C = ¯¯ ∂u ∂u        ¯
                                                                ¯.
            ¯ ∂y ∂z ¯                   ¯        ¯ ∂x ∂y        ¯
            ¯        ¯        ¯ ∂z ∂x ¯          ¯              ¯
              ∂v ∂v             ∂v ∂v              ∂v ∂v
Модуль вектора нормали N(u, v) , следовательно, равен:
                                p
                   |N(u, v)| = A2 + B2 + C2 .

Сравнение с соответствующей формулой из параграфа 5.1 даст нам, в
частности, следующее равенство:

                         A2 + B2 + C2 = EG − F2 .

Таким образом, компоненты поля единичных векторов нормалей имеют
вид:
                   n(u, v) = (cos α, cos β, cos γ) ,

                                    107

Страницы