Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 105 стр.

о том, какой объем этой среды протечет сквозь поверхность S в еди-
ницу времени. В физике такая величина (объем среды V , протекающий
в единицу времени через выбранную поверхность) называется потоком.
Итак, найдем поток V поля F(x, y, z) через поверхность S .
    Разобьем поверхность S сетью кривых на конечное число m ма-
лых участков S1 , S2 , S3 , ..., Sn и возьмем в каждом участке по точке
(xi , yi , zi ) . Рассмотрим проекцию Fn векторного поля F в точке (xi , yi , zi )
на направление единичной нормали ni к поверхности S в этой точке

           Fn (xi , yi , zi ) = Прni F(xi , yi , zi ) = (F(xi , yi , zi ), ni ) ,

где круглыми скобками обозначено скалярное произведение соответству-
ющих векторов. На малом участке Si поверхности S скорость протека-
ющей сквозь него среды можно считать приблизительно постоянной в
силу малости площади ∆Si этого участка. Тогда поток ∆Vi через пло-
щадку Si приблизительно равен:

                             ∆Vi ≈ Fn (xi , yi , zi ) ∆Si ,

то есть объему цилиндра высотой Fn (xi , yi , zi ) и площадью основания
∆Si . Введем векторы ∆Si = ni ∆Si , то есть векторы, направленные так-
же, как векторы единичных нормалей, модули которых равны площадям
соответствующих участков поверхности. Тогда, поскольку

                        Fn (xi , yi , zi ) = (F(xi , yi , zi ), ni ) ,

то выражение для потока ∆Vi через площадку Si можно переписать в
виде:
             ∆Vi ≈ (F(xi , yi , zi ), ni ) ∆Si = (F(xi , yi , zi ), ∆Si ) ,
а поток V через поверхность S :
                          m
                          X               m
                                          X
                    V=           ∆Vi ≈          (F(xi , yi , zi ), ∆Si ) .
                           i=1            i=1


                                            105