Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 104 стр.

    5.4. Определение поверхностного интеграла II-го рода

   Поверхностный интеграл II-го рода строится по аналогии с криволи-
нейным интегралом II-го рода. В случае криволинейного интеграла мы
исходили из понятия ориентированной кривой и строили интегральную
сумму для проекций некоторого векторного поля на направление каса-
тельной к кривой. Аналогичным образом мы рассмотрим здесь понятие
ориентированной поверхности и будем строить интегральную сумму для
проекций поля на выбранное направление, связанное с природой поверх-
ности.
   Определение. Гладкая регулярная поверхность называется ориен-
тируемой, если на ней существует непрерывное поле единичных векто-
ров нормалей. В противном случае поверхность называется неориенти-
руемой.
   Определение. Поверхность, на которой выбрано непрерывное поле
единичных векторов нормалей, называется ориентированной.
   На гладкой регулярной ориентируемой поверхности S существует
только два непрерывных поля единичных векторов нормалей:
                           N(u, v)
              n(u, v) =             и ñ(u, v) = −n(u, v) .
                          |N(u, v)|
Таким образом, поверхность S может быть ориентирована двумя раз-
личными способами.
   Пусть гладкая регулярная поверхность S без самопересечений ори-
ентирована с помощью поля единичных векторов нормалей n(u, v) , и
пусть в области V ⊂ E3 , V ⊃ S задано векторное поле

           F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k

непрерывное на поверхности S . Используя физическую аналогию, мы
можем считать векторное поле F(x, y, z) полем скоростей некоторой
движущейся физической среды (жидкости или газа), и решать задачу

                                    104