Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= 8abc
π
2
Z
0
dθ
π
2
Z
0
µ
cos
2
ϕ sin
2
θ
a
2
+
sin
2
ϕ sin
2
θ
b
2
+
cos
2
θ
c
2
sin θ dϕ =
=
4
3
πabc
µ
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
.
Если поверхность S задана явным уравнением z = z(x, y) , то фор-
мула сведения поверхностного интеграла I-го рода к двойному интегралу
примет вид:
ZZ
S
f(x, y, z) dS =
ZZ
D
f(x, y, z(x, y))
s
1 +
µ
∂z
∂x
2
+
µ
∂z
∂y
2
dx dy .
Пример. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода
ZZ
S
(x
2
y
2
+ x
2
z
2
+ y
2
z
2
) dS ,
где S — это верхняя часть конуса z
2
= k
2
(x
2
+ y
2
) , отсекаемая цилин-
дром x
2
+ y
2
− 2ax = 0 .
Решение. Уравнение верхней части конуса можно записать в виде
z = k
p
x
2
+ y
2
. Тогда
dS =
s
1 +
µ
∂z
∂x
2
+
µ
∂z
∂y
2
dx dy =
p
1 + k
2
dx dy ,
и, сводя наш поверхностный интеграл I-го рода к двойному, получим:
ZZ
S
(x
2
y
2
+ x
2
z
2
+ y
2
z
2
) dS =
p
1 + k
2
ZZ
D
(x
2
y
2
+ k
2
(x
2
+ y
2
)
2
) dx dy ,
где D — это круг, ограниченный окружностью x
2
+ y
2
− 2ax = 0 на
плоскости xy . Решая этот двойной интеграл, найдем:
p
1 + k
2
ZZ
D
(x
2
y
2
+ k
2
(x
2
+ y
2
)
2
) dx dy =
1
24
(80k
2
+ 7)πa
6
p
1 + k
2
.
103
              π    π
              Z2   Z2 µ                               ¶
                   cos2 ϕ sin2 θ sin2 ϕ sin2 θ cos2 θ
    = 8abc dθ                   +              +        sin θ dϕ =
                        a2            b2           c2
           0    0
                                µ              ¶
                        4         1   1      1
                     = πabc         +    +       .
                        3         a2 b2 c2
   Если поверхность S задана явным уравнением z = z(x, y) , то фор-
мула сведения поверхностного интеграла I-го рода к двойному интегралу
примет вид:
                                                  s
   ZZ                     ZZ                               µ        ¶2       µ        ¶2
                                                               ∂z                ∂z
        f(x, y, z) dS =        f(x, y, z(x, y))       1+                 +                 dx dy .
                                                               ∂x                ∂y
   S            D
   Пример. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода
                  ZZ
                     (x2 y2 + x2 z2 + y2 z2 ) dS ,
                               S
где S — это верхняя часть конуса z2 = k2 (x2 + y2 ) , отсекаемая цилин-
дром x2 + y2 − 2ax = 0 .
   Решение. Уравнение верхней части конуса можно записать в виде
     p
z = k x2 + y2 . Тогда
              s     µ ¶2 µ ¶2
                      ∂z     ∂z           p
        dS = 1 +         +        dx dy = 1 + k2 dx dy ,
                      ∂x     ∂y
и, сводя наш поверхностный интеграл I-го рода к двойному, получим:
   ZZ                        p       ZZ
      (x y + x z + y z ) dS = 1 + k2 (x2 y2 + k2 (x2 + y2 )2 ) dx dy ,
        2 2   2 2   2 2


  S                                               D
где D — это круг, ограниченный окружностью x2 + y2 − 2ax = 0 на
плоскости xy . Решая этот двойной интеграл, найдем:
   p       ZZ                                              p
                                             1
     1 + k2 (x2 y2 + k2 (x2 + y2 )2 ) dx dy = (80k2 + 7)πa6 1 + k2 .
                                             24
           D


                                           103

Страницы