Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. По теореме Кантора функция
√
EG − F
2
равномер-
но непрерывна на D
i
, то есть ∀ε > 0 при достаточно малых диаметрах
областей D
i
будет справедлива оценка
|
p
EG − F
2
¯
¯
¯
¯
¯
u =
˜
u
i
v =
˜
v
i
−
p
EG − F
2
¯
¯
¯
u = u
i
v = v
i
| < ε .
Отсюда приходим к оценке |
˜
σ − σ| < εMD , где |f(x, y, z)| < M , D —
площадь области D. Лемма доказана.
Подставив полученное нами выражение для ∆S
i
в интегральную
сумму и учитывая лемму, получим:
lim
∆S
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆S
i
=
= lim
∆D
max
→0
n
X
i=1
f(x(u
i
, v
i
), y(u
i
, v
i
), z(u
i
, v
i
))
p
EG − F
2
¯
¯
¯
u = u
i
v = v
i
∆D
i
,
где через ∆D
max
мы обозначили максимальную из площадей ∆D
i
. При
этом мы учли, что стремление площадей ∆S
i
всех участков S
i
поверхно-
сти S к нулю означает стремление к нулю площадей ∆D
i
соответству-
ющих им координатных областей D
i
. Полученная нами интегральная
сумма отвечает двойному интегралу:
ZZ
D
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
p
EG − F
2
du dv .
Таким образом, мы получили формулу:
ZZ
S
f(x, y, z) dS =
ZZ
D
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
p
EG − F
2
du dv ,
которая называется формулой сведения поверхностного интеграла I-го
рода к двойному интегралу. Она служит для вычисления поверхностных
интегралов I-го рода.
101
                                                 √
   Доказательство. По теореме Кантора функция EG − F2 равномер-
но непрерывна на Di , то есть ∀ε > 0 при достаточно малых диаметрах
областей Di будет справедлива оценка
             p                      p
                         ¯
            | EG − F ¯¯ u = ũ − EG − F2¯¯ u = ui | < ε .
                       2
                                  i        ¯v= v
                         ¯                       i
                         ¯ v = ṽi

Отсюда приходим к оценке |σ̃ − σ| < εMD , где |f(x, y, z)| < M , D —
площадь области D . Лемма доказана.
   Подставив полученное нами выражение для ∆Si в интегральную
сумму и учитывая лемму, получим:
                                          n
                                          X
                                   lim          f(xi , yi , zi ) ∆Si =
                               ∆Smax →0
                                          i=1

                  n
                  X                                                p
   =     lim            f(x(ui , vi ), y(ui , vi ), z(ui , vi ))       EG − F2¯¯ u = ui ∆Di ,
       ∆Dmax →0                                                                ¯v= v
                  i=1                                                                 i

где через ∆Dmax мы обозначили максимальную из площадей ∆Di . При
этом мы учли, что стремление площадей ∆Si всех участков Si поверхно-
сти S к нулю означает стремление к нулю площадей ∆Di соответству-
ющих им координатных областей Di . Полученная нами интегральная
сумма отвечает двойному интегралу:
            ZZ                             p
               f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F2 du dv .
                  D
   Таким образом, мы получили формулу:
    ZZ                 ZZ                             p
       f(x, y, z) dS =    f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F2 du dv ,
    S                          D
которая называется формулой сведения поверхностного интеграла I-го
рода к двойному интегралу. Она служит для вычисления поверхностных
интегралов I-го рода.


                                                  101

Страницы