Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где (x
i
, y
i
, z
i
) — точка, произвольно взятая внутри i -го участка поверх-
ности; ∆S
i
— площадь участка S
i
. Масса поверхности приближенно рав-
на:
m =
n
X
i=1
∆m
i
≈
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆S
i
.
Чем мельче будет разбиение нашей поверхности, тем точнее будет это
равенство, а в пределе при беспредельном уменьшении каждого из эле-
ментарных участков S
i
поверхности S это равенство станет точным.
Чтобы отразить тот факт, что размеры всех участков поверхности S
i
мы будем устремлять к нулю, обозначим через ∆S
max
максимальную
площадь среди всех участков S
i
. Тогда если ∆S
max
→0 , то и ∆S
i
→0
для всех i .
Определение. Конечный предел суммы
σ =
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆S
i
при беспредельном уменьшении площадей ∆S
i
элементарных участков
S
i
поверхности S и беспредельном возрастании числа n элементарных
участков называется поверхностным интегралом I-го рода от функции
f(x, y, z) по поверхности S и обозначается символом:
ZZ
S
f(x, y, z) dS .
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения поверхности
S , ни от выбора точек (x
i
, y
i
, z
i
) внутри элементарных участков S
i
.
Итак,
ZZ
S
f(x, y, z) dS
def
= lim
∆S
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆S
i
.
Замечание. Символ для обозначения поверхностного интеграла по-
хож на символ для обозначения двойного интеграла. Тем самым под-
черкивается двумерная природа поверхности S , являющейся в данном
случае областью интегрирования.
99
где (xi , yi , zi ) — точка, произвольно взятая внутри i -го участка поверх-
ности; ∆Si — площадь участка Si . Масса поверхности приближенно рав-
на:                    n          n
                      X           X
                 m=      ∆mi ≈      f(xi , yi , zi ) ∆Si .
                          i=1            i=1
Чем мельче будет разбиение нашей поверхности, тем точнее будет это
равенство, а в пределе при беспредельном уменьшении каждого из эле-
ментарных участков Si поверхности S это равенство станет точным.
Чтобы отразить тот факт, что размеры всех участков поверхности Si
мы будем устремлять к нулю, обозначим через ∆Smax максимальную
площадь среди всех участков Si . Тогда если ∆Smax → 0 , то и ∆Si → 0
для всех i .
   Определение. Конечный предел суммы
                       X n
                    σ=     f(xi , yi , zi ) ∆Si
                                 i=1
при беспредельном уменьшении площадей ∆Si элементарных участков
Si поверхности S и беспредельном возрастании числа n элементарных
участков называется поверхностным интегралом I-го рода от функции
f(x, y, z) по поверхности S и обозначается символом:
                            ZZ
                               f(x, y, z) dS .
                         S
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения поверхности
S , ни от выбора точек (xi , yi , zi ) внутри элементарных участков Si .
   Итак,
              ZZ                                 n
                                                 X
                                def
                   f(x, y, z) dS =      lim            f(xi , yi , zi ) ∆Si .
                                      ∆Smax →0
                                                 i=1
           S
   Замечание. Символ для обозначения поверхностного интеграла по-
хож на символ для обозначения двойного интеграла. Тем самым под-
черкивается двумерная природа поверхности S , являющейся в данном
случае областью интегрирования.

                                         99

Страницы