Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

E = 1 +
µ
∂z
∂x
2
, F =
∂z
∂x
∂z
∂y
, G = 1 +
µ
∂z
∂y
2
,
EG − F
2
= 1 +
µ
∂z
∂x
2
+
µ
∂z
∂y
2
,
dS =
s
1 +
µ
∂z
∂x
2
+
µ
∂z
∂y
2
dx dy ,
S =
ZZ
D
s
1 +
µ
∂z
∂x
2
+
µ
∂z
∂y
2
dx dy .
5.2. Определение поверхностного интеграла I-го рода
Поверхностные интегралы I-го рода представляют собой естествен-
ное обобщение двойных интегралов подобно тому, как криволинейные
интегралы I-го рода являются обобщением определенных интегралов.
Пусть дана гладкая регулярная поверхность
S :
x = x(u, v) ,
y = y(u, v) ,
z = z(u, v) ,
( (u, v) ∈ D) и пусть в области V ⊂ E
3
, V ⊃ S определена некоторая
функция ρ = f(x, y, z) . Пользуясь физической аналогией, можно трак-
товать поверхность S как неоднородную материальную пленку, подве-
шенную в пространстве, а функцию ρ = f(x, y, z) , рассматриваемую в
точках поверхности S, как плотность распределения материи этой плен-
ки. Найдем массу такой неоднородной пленки.
Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких кривых на конечное
число n малых участков S
1
, S
2
, S
3
, ..., S
n
. В силу малого размера участ-
ков, плотность каждого участка можно считать постоянной, в силу чего
масса ∆m
i
участка с номером i приближенно равна:
∆m
i
≈ f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆S
i
,
98
                     µ        ¶2               µ ¶2
                         ∂z    ∂z ∂z              ∂z
            E=1+        , F=         , G=1+          ,
                         ∂x    ∂x ∂y              ∂y
                               µ ¶2 µ ¶2
                                ∂z        ∂z
                EG − F2 = 1 +         +         ,
                                ∂x        ∂y
                     s    µ ¶2 µ ¶2
                            ∂z        ∂z
               dS = 1 +           +        dx dy ,
                            ∂x        ∂y
                     s
                  ZZ      µ ¶2 µ ¶2
                             ∂z        ∂z
              S=       1+         +         dx dy .
                             ∂x        ∂y
                  D

     5.2. Определение поверхностного интеграла I-го рода

   Поверхностные интегралы I-го рода представляют собой естествен-
ное обобщение двойных интегралов подобно тому, как криволинейные
интегралы I-го рода являются обобщением определенных интегралов.
   Пусть дана гладкая регулярная поверхность
                           
                           
                            x = x(u, v) ,
                        S:    y = y(u, v) ,
                           
                           
                              z = z(u, v) ,
( (u, v) ∈ D ) и пусть в области V ⊂ E3 , V ⊃ S определена некоторая
функция ρ = f(x, y, z) . Пользуясь физической аналогией, можно трак-
товать поверхность S как неоднородную материальную пленку, подве-
шенную в пространстве, а функцию ρ = f(x, y, z) , рассматриваемую в
точках поверхности S , как плотность распределения материи этой плен-
ки. Найдем массу такой неоднородной пленки.
    Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких кривых на конечное
число n малых участков S1 , S2 , S3 , ..., Sn . В силу малого размера участ-
ков, плотность каждого участка можно считать постоянной, в силу чего
масса ∆mi участка с номером i приближенно равна:

                          ∆mi ≈ f(xi , yi , zi ) ∆Si ,

                                      98

Страницы