Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

причем |˙r| 6= 0 , так как
˙
u
2
+
˙
v
2
> 0 (регулярность кривой Γ в области
D), а векторы
∂r
∂u
и
∂r
∂v
линейно независимы. Из формулы (1) следу-
ет, что касательный вектор к кривой γ , лежащей на поверхности S , в
точке r(u
0
, v
0
) является линейной комбинацией векторов
∂r
∂u
(x
0
, y
0
) и
∂r
∂v
(x
0
, y
0
) , то есть лежит в плоскости, проходящей через точку r(u
0
, v
0
)
параллельно векторам
∂r
∂u
(u
0
, v
0
) ,
∂r
∂v
(u
0
, v
0
) . Эта плоскость называется
касательной плоскостью к поверхности S в точке r(u
0
, v
0
) . Все векто-
ры лежащие в этой плоскости, то есть все векторы вида (1), называются
касательными векторами к поверхности в данной точке.
Вектор нормали касательной плоскости
N(u
0
, v
0
) =
·
∂r
∂u
(u
0
, v
0
),
∂r
∂v
(u
0
, v
0
)
¸
называется вектором нормали поверхности в соответствующей точке.
Уравнение касательной плоскости в точке r(u
0
, v
0
)
(
N(u
0
, v
0
), R − r(u
0
, v
0
)) = 0 ,
где R = (X, Y, Z) — радиус-вектор точек касательной плоскости. Урав-
нение касательной плоскости в координатной форме
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
X − x(u
0
, v
0
) Y − y(x
0
, y
0
) Z − z(x
0
, y
0
)
∂x
∂u
(u
0
, v
0
)
∂y
∂u
(u
0
, v
0
)
∂z
∂u
(u
0
, v
0
)
∂x
∂v
(u
0
, v
0
)
∂y
∂v
(u
0
, v
0
)
∂z
∂v
(u
0
, v
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0 .
Длина кривой на поверхности:
l =
τ
2
Z
τ
1
|˙r| dt =
τ
2
Z
τ
1
p
(˙r, ˙r) dt =
=
τ
2
Z
τ
1
r
(
∂r
∂u
˙
u +
∂r
∂v
˙
v,
∂r
∂u
˙
u +
∂r
∂v
˙
v) dt =
τ
2
Z
τ
1
p
E
˙
u
2
+ 2F
˙
u
˙
v + G
˙
v
2
dt ,
96
причем |ṙ| 6= 0 , так как u̇2 + v̇2 > 0 (регулярность кривой Γ в области
D ), а векторы ∂r и ∂r линейно независимы. Из формулы (1) следу-
                   ∂u    ∂v
ет, что касательный вектор к кривой γ , лежащей на поверхности S , в
точке r(u0 , v0 ) является линейной комбинацией векторов ∂r (x0 , y0 ) и
                                                                 ∂u
∂r (x , y ) , то есть лежит в плоскости, проходящей через точку r(u , v )
∂v 0 0                                                                  0 0

параллельно векторам ∂r (u0 , v0 ) , ∂r (u0 , v0 ) . Эта плоскость называется
                          ∂u           ∂v
касательной плоскостью к поверхности S в точке r(u0 , v0 ) . Все векто-
ры лежащие в этой плоскости, то есть все векторы вида (1), называются
касательными векторами к поверхности в данной точке.
   Вектор нормали касательной плоскости
                              ·                          ¸
                                ∂r            ∂r
                N(u0 , v0 ) =      (u0 , v0 ), (u0 , v0 )
                                ∂u            ∂v
называется вектором нормали поверхности в соответствующей точке.
   Уравнение касательной плоскости в точке r(u0 , v0 )

                          (N(u0 , v0 ), R − r(u0 , v0 )) = 0 ,

где R = (X, Y, Z) — радиус-вектор точек касательной плоскости. Урав-
нение касательной плоскости в координатной форме
           ¯                                                                    ¯
           ¯ X − x(u , v ) Y − y(x , y ) Z − z(x , y )                          ¯
           ¯          0 0         0   0         0   0                           ¯
           ¯                                                                    ¯
           ¯ ∂x             ∂y (u , v )   ∂z (u , v )                           ¯
           ¯                                                                    ¯=0.
           ¯ ∂u (u0 , v0 )  ∂u   0 0
                                          ∂u   0 0                              ¯
           ¯                                                                    ¯
           ¯ ∂x             ∂y (u , v )   ∂z (u , v )                           ¯
           ¯     (u0 , v0 )                                                     ¯
              ∂v            ∂v 0 0        ∂v 0 0
   Длина кривой на поверхности:
                                τZ2               τZ2
                                                        p
                           l=         |ṙ| dt =          (ṙ, ṙ) dt =
                                τ1                τ1

        τZ2 r                                                 τZ2
                  ∂r      ∂r ∂r      ∂r                             p
    =           (    u̇ +   v̇, u̇ +    v̇) dt =                        Eu̇2 + 2Fu̇v̇ + Gv̇2 dt ,
                  ∂u      ∂v ∂u      ∂v
        τ1                                                    τ1

                                                  96

Страницы