Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 94 стр.

             5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


   5.1. Поверхность в трехмерном евклидовом пространстве

   Рассмотрим отображение некоторой плоской области D двумерного
пространства координат u и v в трехмерное евклидово пространство
декартовых координат x , y , z .
   Определение. Непрерывное отображение
                        
                        
                         x = x(u, v) ,
                     S:    y = y(u, v) ,
                        
                        
                           z = z(u, v) ,

плоской области D в трехмерное евклидово пространство называется
поверхностью. Здесь x = x(u, v) , y = y(u, v) и z = z(u, v) — непре-
рывные функции, (u, v) ∈ D .
   Область D называется системой координат поверхности, а пере-
менные u и v называются координатами или параметрами на поверх-
ности S .
   Поверхность представленная через свои параметры называется по-
верхностью, заданной в параметрическом виде. В предыдущих главах
мы задавали поверхности другим способом, а именно явным уравнением
z = z(x, y) . На практике это две альтернативные формы аналитическо-
го описания поверхностей, но следует учесть, что явная форма по сути
является частным случаем параметрической (координаты x и y взяты
в качестве параметров поверхности).
   Определение. Поверхность S называется гладкой, если функции
x(u, v) , y(u, v) , z(u, v) имеют непрерывные частные производные пер-
вого порядка в области D .
   Определение. Гладкая поверхность S называется регулярной, если



                                  94