Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

в любой точке (u, v) ∈ D ранг матрицы
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
равен двум.
Параметрические уравнения поверхности S можно записать в век-
торной форме:
r = r(u, v) ,
где r = (x, y, z ) — радиус-вектор точки в трехмерном евклидовом про-
странстве, r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k .
Кривые r = r(u, v
0
) и r = r(u
0
, v) ( u
0
= const , v
0
= const ) назы-
ваются координатными линиями поверхности. Координатные линии на
регулярной поверхности являются регулярными кривыми и образуют на
поверхности координатную сеть. Векторы
∂r
∂u
=
µ
∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
и
∂r
∂v
=
µ
∂x
∂v
,
∂y
∂v
,
∂z
∂v
касательные к координатным линиям называются касательными век-
торами к поверхности. Если поверхность регулярна, то эти векторы
линейно-независимы.
Далее рассматриваем только гладкие регулярные поверхности.
Пусть Γ : u = u(t) , v = v(t) ( τ
1
6 t 6 τ
2
) — гладкая регуляр-
ная кривая без самопересечений, лежащая в координатной области D
поверхности S , проходящая через точку (u
0
, v
0
) ∈ D, где u
0
= u(t
0
) ,
v
0
= v(t
0
) , τ
1
6 t
0
6 τ
2
. Тогда γ : r = r(u(t), v(t)) ( τ
1
6 t 6 τ
2
) —
гладкая регулярная кривая без самопересечений, лежащая на поверхно-
сти S и проходящая через точку r(u
0
, v
0
) . Вектор касательный к этой
кривой
˙r
def
=
dr
dt
=
∂r
∂u
˙
u +
∂r
∂v
˙
v , (1)
95
в любой точке (u, v) ∈ D ранг матрицы
                                     
                            ∂x ∂y ∂z
                           ∂u ∂u ∂u 
                                     
                            ∂x ∂y ∂z
                            ∂v ∂v ∂v
равен двум.
   Параметрические уравнения поверхности S можно записать в век-
торной форме:
                                 r = r(u, v) ,
где r = (x, y, z) — радиус-вектор точки в трехмерном евклидовом про-
странстве, r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k .
   Кривые r = r(u, v0 ) и r = r(u0 , v) ( u0 = const , v0 = const ) назы-
ваются координатными линиями поверхности. Координатные линии на
регулярной поверхности являются регулярными кривыми и образуют на
поверхности координатную сеть. Векторы
                  µ            ¶         µ          ¶
             ∂r     ∂x ∂y ∂z        ∂r     ∂x ∂y ∂z
                =      ,   ,     и     =     , ,
             ∂u     ∂u ∂u ∂u        ∂v     ∂v ∂v ∂v
касательные к координатным линиям называются касательными век-
торами к поверхности. Если поверхность регулярна, то эти векторы
линейно-независимы.
   Далее рассматриваем только гладкие регулярные поверхности.
   Пусть Γ : u = u(t) , v = v(t) (τ1 6 t 6 τ2 ) — гладкая регуляр-
ная кривая без самопересечений, лежащая в координатной области D
поверхности S , проходящая через точку (u0 , v0 ) ∈ D , где u0 = u(t0 ) ,
v0 = v(t0 ) , τ1 6 t0 6 τ2 . Тогда γ : r = r(u(t), v(t)) (τ1 6 t 6 τ2 ) —
гладкая регулярная кривая без самопересечений, лежащая на поверхно-
сти S и проходящая через точку r(u0 , v0 ) . Вектор касательный к этой
кривой
                          def   dr   ∂r      ∂r
                        ṙ =       =    u̇ +    v̇ ,                  (1)
                                dt   ∂u      ∂v


                                      95

Страницы