Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где
E(u, v) =
µ
∂r
∂u
,
∂r
∂u
, F(u, v) =
µ
∂r
∂u
,
∂r
∂v
, G(u, v) =
µ
∂r
∂v
,
∂r
∂v
—
коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Тогда модуль
вектора нормали будет равен:
|N(u, v)| = |
·
∂r
∂u
(u, v),
∂r
∂v
(u, v)
¸
| =
p
EG − F
2
.
Рассмотрим площадь dS малого участка поверхности, заключенного
между бесконечно близкими координатными кривыми. С точностью до
бесконечно малых высших порядков она равна площади параллелограм-
ма, построенного на векторах
∂r
∂u
du и
∂r
∂v
dv . Непосредственное вычис-
ление этой площади приводит к следующему результату:
dS = |
·
∂r
∂u
du,
∂r
∂v
dv
¸
| =
p
EG − F
2
du dv .
Определение. Выражение dS =
√
EG − F
2
du dv называется эле-
ментом площади поверхности S .
Определение. Площадью поверхности S называется число:
S =
ZZ
D
p
EG − F
2
du dv .
В заключение приведем сводку формул для случая, когда гладкая
поверхность S задана явным уравнением z = z(x, y) . В этом случае
координаты x и y играют роль параметров поверхности ((x, y) ∈ D) ,
и мы получим следующие формулы:
r = r(x, y) = (x, y, z(x, y)) ,
∂r
∂x
= (1, 0,
∂z
∂x
) ,
∂r
∂y
= (0, 1,
∂z
∂y
) .
Уравнение касательной плоскости
Z = z(x
0
, y
0
) +
∂z
∂x
(x
0
, y
0
)(X − x
0
) +
∂z
∂y
(x
0
, y
0
)(Y − y
0
) .
97
где
              µ           ¶                 µ           ¶                 µ           ¶
                  ∂r ∂r                         ∂r ∂r                         ∂r ∂r
  E(u, v) =         ,         , F(u, v) =         ,         , G(u, v) =         ,         —
                  ∂u ∂u                         ∂u ∂v                         ∂v ∂v
коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Тогда модуль
вектора нормали будет равен:
                         ·                  ¸   p
                           ∂r        ∂r
           |N(u, v)| = |      (u, v), (u, v) | = EG − F2 .
                           ∂u        ∂v
    Рассмотрим площадь dS малого участка поверхности, заключенного
между бесконечно близкими координатными кривыми. С точностью до
бесконечно малых высших порядков она равна площади параллелограм-
ма, построенного на векторах ∂r du и ∂r dv . Непосредственное вычис-
                              ∂u     ∂v
ление этой площади приводит к следующему результату:
                     ·           ¸   p
                       ∂r    ∂r
              dS = |      du, dv | = EG − F2 du dv .
                       ∂u    ∂v
                                    √
    Определение. Выражение dS = EG − F2 du dv называется эле-
ментом площади поверхности S .
      Определение. Площадью поверхности S называется число:
                         ZZ p
                      S=      EG − F2 du dv .
                                   D
   В заключение приведем сводку формул для случая, когда гладкая
поверхность S задана явным уравнением z = z(x, y) . В этом случае
координаты x и y играют роль параметров поверхности ((x, y) ∈ D) ,
и мы получим следующие формулы:

                          r = r(x, y) = (x, y, z(x, y)) ,
                     ∂r         ∂z   ∂r         ∂z
                        = (1, 0, ) ,    = (0, 1, ) .
                     ∂x         ∂x ∂y           ∂y
      Уравнение касательной плоскости
                              ∂z                       ∂z
          Z = z(x0 , y0 ) +      (x0 , y0 )(X − x0 ) +    (x0 , y0 )(Y − y0 ) .
                              ∂x                       ∂y
                                            97

Страницы