Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

центром в начале координат отличен от нуля:
I
C
P dx + Q dy =
I
C
x dy − y dx
x
2
+ y
2
=
2π
Z
0
dt = 2π 6= 0 ,
и значит по теореме 1 рассматриваемое поле не потенциально в области,
ограниченной этой окружностью.
4.9. Упражнения
1. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода:
Z
γ
y
2
dl ,
где γ — арка циклоиды x = a (t − sin t) , y = a (1 − cos t) (0 6 t 6 2π) .
2. Найти массу четверти окружности x
2
+ y
2
= R
2
, расположенной в
первом квадранте, если плотность ее в каждой точке пропорциональна
абсциссе этой точки (ρ = kx) .
3. Вычислить криволинейный интеграл II-го рода от вектор-функции
F(x, y) = y
2
i +x
2
j по кривой γ : y = x
2
от точки (0, 0) до точки (1, 1) .
4. Вычислить криволинейный интеграл II-го рода от вектор-функции
F(x, y, z) = z i + x j + y k по кривой
γ :
x = t ,
y = t
2
,
z = t
3
,
от точки, отвечающей значению параметра t = 0 , до точки, отвечающей
значению параметра t = 1 .
5. Вычислить работу силового поля F(x, y, z) = 2xy i+y
2
j−x
2
k при
перемещении материальной точки вдоль сечения однополостного гипер-
болоида x
2
+ y
2
− 2z
2
= 2a
2
плоскостью y = x от точки (a, a, 0) до
точки (a
√
2, a
√
2, a) .
92
центром в начале координат отличен от нуля:
            I                   I                   Z
                                                    2π
                                    x dy − y dx
                P dx + Q dy =                   =        dt = 2π 6= 0 ,
                                      x 2 + y2
           C                    C                   0

и значит по теореме 1 рассматриваемое поле не потенциально в области,
ограниченной этой окружностью.


                            4.9. Упражнения

   1. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода:
                            Z
                              y2 dl ,
                            γ
где γ — арка циклоиды x = a (t − sin t) , y = a (1 − cos t) (0 6 t 6 2π) .
   2. Найти массу четверти окружности x2 + y2 = R2 , расположенной в
первом квадранте, если плотность ее в каждой точке пропорциональна
абсциссе этой точки (ρ = kx) .
   3. Вычислить криволинейный интеграл II-го рода от вектор-функции
F(x, y) = y2 i + x2 j по кривой γ : y = x2 от точки (0, 0) до точки (1, 1) .
   4. Вычислить криволинейный интеграл II-го рода от вектор-функции
F(x, y, z) = z i + x j + y k по кривой
                                   
                                   
                                    x=t ,
                                γ:   y = t2 ,
                                   
                                   
                                     z = t3 ,
от точки, отвечающей значению параметра t = 0 , до точки, отвечающей
значению параметра t = 1 .
   5. Вычислить работу силового поля F(x, y, z) = 2xy i+y2 j−x2 k при
перемещении материальной точки вдоль сечения однополостного гипер-
болоида x2 + y2 − 2z2 = 2a2 плоскостью y = x от точки (a, a, 0) до
        √    √
точки (a 2, a 2, a) .

                                       92

Страницы