Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 91 стр.

от ломаной, соединяющей какие-либо две точки области G . Очевидно,
любые две точки можно соединить ломаной, поэтому формула
                                  (x,y)
                                   Z
                     U(x, y) =               P dx + Q dy ,
                                 (x0 ,y0 )

где интеграл берется по ломаной, соединяющей две точки с координа-
тами (x0 , y0 ) и (x, y) , определяет однозначную функцию в области G .
Так же как и в предыдущей теореме доказывается, что она является
потенциалом векторного поля F = P i + Q j . Теорема доказана.
    Отметим, что приведенные в этом параграфе теоремы содержат бо-
лее сильные утверждения (необходимые и достаточные условия потен-
циальности векторного поля на плоскости), чем в предыдущем (только
необходимые условия).
   Отметим также, что требование односвязности области D при фор-
мулировке теоремы 2 весьма существенно. В качестве примера рассмот-
рим векторное поле:
                                    y            x
                   F(x, y) = −           i +          j,
                                 x2 + y2     x 2 + y2
которое непрерывно дифференцируемо во всех точках плоскости, кроме
точки (0, 0) . Это видно из рассмотрения частных производных компо-
нент этого поля:
                       ∂P    ∂Q    y2 − x 2
                          =     = 2          .
                       ∂y    ∂x   (x + y2 )2
Такое векторное поле будет потенциальным в любой односвязной обла-
сти плоскости, не содержащей точку (0, 0) и не будет потенциальным
в области, содержащей точку (0, 0) . Мы не можем рассматривать это
поле в этой точке, поэтому эту точку необходимо будет исключить из
рассмотрения (выколотая точка), в силу чего области, окаймляющие эту
точку, становятся неодносвязными. Например, криволинейный интеграл
по окружности радиуса R ( x = R cos t , y = R sin t , 0 6 t 6 2π ) с

                                       91