Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

кусочно-гладкая регулярная кривая, соединяющая эти точки. По усло-
вию теоремы формула
U(x, y) =
Z
γ
P dx + Q dy
def
=
(x,y)
Z
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy
определяет однозначную функцию в области G. Покажем, что функ-
ция U(x, y) является потенциалом векторного поля F = P i + Q j . Дей-
ствительно, при достаточно малом ∆x формулу для приращения этой
функции по переменной x можно записать в виде
U(x + ∆x, y) − U(x, y) =
=
(x,y)
Z
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy +
(x+∆x,y)
Z
(x,y)
P dx + Q dy −
(x,y)
Z
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy ,
где первый и последний интеграл вычисляются по кривой γ , а средний
по отрезку, параллельному оси x . Поэтому
U(x + ∆x, y) − U(x, y) =
(x+∆x,y)
Z
(x,y)
P dx = P(x + θ ∆x, y) ∆x , (0 < θ < 1) ,
где в последнем равенстве мы применили теорему о среднем значении
интеграла. Из полученной формулы следует
∂U
∂x
= lim
∆x→0
U(x + ∆x, y) − U(x, y)
∆x
= lim
∆x→0
P(x + θ ∆x, y) = P(x, y) .
Аналогично доказывается
∂U
∂y
= Q(x, y) . Поскольку функции P(x, y)
и Q(x, y) непрерывны в области G, то и частные производные
∂U
∂x
,
∂U
∂y
тоже непрерывны в этой области. Следовательно, функция U(x, y )
дифференцируема в области G и является потенциалом векторного поля
F = P i + Q j . Теорема доказана.
Пусть теперь область D односвязна, а поле F(x, y) непрерывно диф-
ференцируемо в области D.
89
кусочно-гладкая регулярная кривая, соединяющая эти точки. По усло-
вию теоремы формула
                                Z                            (x,y)
                                                              Z
                                                      def
                    U(x, y) =       P dx + Q dy =                       P dx + Q dy
                                γ                           (x0 ,y0 )

определяет однозначную функцию в области G . Покажем, что функ-
ция U(x, y) является потенциалом векторного поля F = P i + Q j . Дей-
ствительно, при достаточно малом ∆x формулу для приращения этой
функции по переменной x можно записать в виде

                                U(x + ∆x, y) − U(x, y) =
         (x,y)
          Z                          (x+∆x,y)
                                        Z                                  (x,y)
                                                                            Z
    =               P dx + Q dy +               P dx + Q dy −                         P dx + Q dy ,
        (x0 ,y0 )                      (x,y)                              (x0 ,y0 )
где первый и последний интеграл вычисляются по кривой γ , а средний
по отрезку, параллельному оси x . Поэтому
                                    (x+∆x,y)
                                       Z
U(x + ∆x, y) − U(x, y) =                       P dx = P(x + θ ∆x, y) ∆x , (0 < θ < 1) ,
                                     (x,y)

где в последнем равенстве мы применили теорему о среднем значении
интеграла. Из полученной формулы следует
  ∂U         U(x + ∆x, y) − U(x, y)
      = lim                         = lim P(x + θ ∆x, y) = P(x, y) .
   ∂x   ∆x→0          ∆x              ∆x→0

   Аналогично доказывается ∂U = Q(x, y) . Поскольку функции P(x, y)
                             ∂y
и Q(x, y) непрерывны в области G , то и частные производные ∂U ,
                                                                  ∂x
∂U тоже непрерывны в этой области. Следовательно, функция U(x, y)
∂y
дифференцируема в области G и является потенциалом векторного поля
F = P i + Q j . Теорема доказана.
   Пусть теперь область D односвязна, а поле F(x, y) непрерывно диф-
ференцируемо в области D .

                                                 89

Страницы